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{{NoteTA|G1=Math}}

[[数学]]上，特别是在[[群论]]中，[[群]]的元素可以[[集合劃分|分割]]成'''共轭类'''（{{lang-en|Conjugacy class}}）；同一个共轭类的元素有很多共同的属性。非交换群的共轭类有很多关于該群的结构的重要特征。对于[[交换群]]，这个概念是平凡的，因为每个类就是一个[[单元素集合]]。

在同一个共轭类上取常值的[[函数]]称为[[類函數]]。

== 定义 ==
對於群 <math>G</math> 中的元素 <math>g</math> 和 <math>n</math> ， <math>gng^{-1}</math> 稱為 <math>n</math> 關於 <math>g</math> 的'''共轭'''。類似地，對元素 <math>a</math> 和 <math>b</math> ，如果存在元素 <math>g</math> 使得 <math>b = gag^{-1}</math> ，可以稱 <math>a</math> 和 <math>b</math> '''共轭'''。

對由[[可逆矩陣]]構成的[[一般線性群]] <math>\mathrm{GL}(n)</math> ，共軛的元素（矩陣）稱為[[相似矩阵]]。

共轭是一種[[等价关系]]，因此可以 <math>G</math> [[集合劃分|分割]]为[[等价类]]。（这表示群的每个元素属于恰好一个共轭类，而类 <math>\mathrm{Cl}(a)</math> 和 <math>\mathrm{Cl}(b)</math> 相等当且仅当 <math>a</math> 和 <math>b</math> 共轭，否则[[不交集|不相交]]。）包含群 <math>G</math> 中元素 <math>a</math> 的等价类是

:<math>\mathrm{Cl}(a)=\{gag^{-1} \mid g \in G\}</math>

称为 <math>a</math> 的'''共轭类'''。<math>G</math> 的'''类数'''是不同共轭类的个数。同一個共軛類中的元素的[[階_(群論)|階]]相同。

== 例子 ==
[[对称群]]''<math>S_3</math>''，由所有3个元素的6个[[置换]]组成，拥有三个共轭类：
* 恒等 (abc -> abc)表示为(1)
* 对换 (abc -> acb，abc -> bac，abc -> cba)表示为(23) (12) (13)
* 三阶轮换 (abc -> bca，abc -> cab)表示为(132) (123)

对称群''<math>S_4</math>''，由4个元素的全部24个置换组成，有5个共轭类：
* 恒等
* 对换
* 三阶轮换
* 四阶轮换
* 双对换

参看[[八面体的对称性#立方体的等距映射|立方体的恰当转动]]，它可以用体对角线的枚举刻划。

* 在<math>n \times n</math>[[矩陣]]，在同一個共軛類的矩陣稱為相似矩陣。

== 属性 ==

* 单位元总是自成一类，也就是说<math>\mathrm{Cl}(e)=\{e\}</math>。

* 若<math>G</math>[[交换群|可交换]]，则<math>gag^{-1}=a</math>对于所有<math>a</math>和<math>g</math>属于<math>G</math>成立；所以<math>\mathrm{Cl}(a)=\{a\}</math>对于<math>a</math>属于<math>G</math>成立；可见这个概念对于交换群不是很有用。

* 若<math>G</math>的两个元素<math>a</math>和<math>b</math>属于同一个共轭类（也即，若它们共轭），则它们有同样的[[階 (群論)|階]]。更一般地讲，每个关于<math>a</math>的命题可以转换成关于<math>b=gag^{-1}</math>的一个命题，因为映射<math>\varphi(x)=gxg^{-1}</math>是一个<math>G</math>的[[群同构|自同构]]。

* <math>G</math>的一个元素<math>a</math>位于<math>G</math>的[[中心 (群論)|中心]]<math>\mathrm Z(G)</math>当且仅当其共轭类只有一个元素，<math>a</math>本身。更一般地讲，若<math>\mathrm C_G(a)</math>代表<math>G</math>中<math>\{a\}</math>的[[中心化子]]，也即，有所有满足<math>ga=ag</math>的元素<math>g</math>组成的[[子群]]，则[[陪集|指数]]<math>[G:\mathrm C_G(a)]</math>等于<math>a</math>的共轭类中元素的个数。

== 共軛群作用 ==
令 <math>G</math> 為群，對任意 <math>g,x \in G</math> ，定義 <math>G</math> 關於自身的[[群作用]]

: <math>g \cdot x = gxg^{-1}</math> 。

<math>x</math> 在作用 <math>G</math> 上的[[群作用#軌道|軌道]]是其在群 <math>G</math> 中的共軛類。元素 <math>x</math> 的[[穩定子群]]等於該元素的中心化子。

類似地，我們可以令 <math>G</math> 作用在 <math>G</math> 的所有[[子集]]構成的集合，有

: <math>g \cdot S = gSg^{-1} = \{gsg^{-1} \mid s \in S\}</math> 。

又或者是作用在 <math>G</math> 的[[子群]]構成的集合。

== 共轭类方程 ==

若 <math>G</math> 为有限群，對 <math>G</math> 的任意元素 <math>a</math> ，其共軛類中的元素可以與中心化子 <math>C_G(a)</math> 的[[陪集]][[一一對應]]。因為同一陪集的任意兩元素 <math>b</math> 和 <math>c</math> （存在 <math>z \in C_G(a)</math> 使得 <math>b = cz</math> ）對 <math>a</math> 的共軛相同：

: <math>bab^{-1} = (cz)a(cz)^{-1} = czaz^{-1}c^{-1} = cazz^{-1}c^{-1} = cac^{-1}</math> 。

由於 <math>a</math> 在 <math>G</math> 上的軌道等於其共軛類，其穩定子群等於其中心化子，上述結論亦可以由[[群作用#軌道-穩定化子定理|軌道-穩定化子定理]]給出。

<math>z</math> 的共轭类的元素个数等於它的中心化子的[[子群的指數|指數]] <math>[G:C_G(z)]</math> ，因而[[整除]] <math>G</math> 的[[階 (群論)|階]]。

进一步的有，对于任何群 <math>G</math> ，从 <math>G</math> 的每个元素个数大於 <math>1</math> 的共轭类中取出一个元素来定义一个代表集 <math>S = \{x_i\}</math> 。则 <math>G</math> 是群的[[中心_(群論)|中心]] <math>Z(G)</math> 以及 <math>S</math> 中所有元素的共轭类 <math>Cl(x_i)</math> 的[[不交并集]]。由此可得群論中重要的'''类方程'''：

: <math>|G| = |Z(G)| + \sum_i[G : C_G(x_i)]</math>

其中求和取遍对于每个 <math>S</math> 中的 <math>x_i</math> 的 <math>H_i = C_G(x_i)</math> 。注意 <math>[G:H_i]</math> 是 <math>x_i</math> 的共軛類的元素个数。该方程经常用于获得关于共轭类或者中心的大小的信息。

=== 例子 ===

考虑一个有限的 [[p-群]] <math>G</math> （即元素數目为 <math>p^n</math> 的群，其中 <math>p</math> 是一个[[质数]]且 <math>n > 0</math> ）。我们将证明：每个有限''p''-群有非[[平凡 (数学)|平凡]]的中心。

因为 <math>G</math> 的任意子群的[[指數_(群論)|指數]]必须整除 <math>G</math> 的次数，所以每个 <math>H_i</math> 等於 <math>p</math> 的一個幂 <math>p^{k_i}</math> ， <math>k_i > 0</math> 。类方程給出

: <math>p^n = |G| = |Z(G)| + \sum_i p^{k_i}</math> 

由於 <math>p</math> 整除 <math>\sum_i p^{k_i}</math> 和 <math>|G|</math> ， <math>p</math> 必须整除 <math>|Z(G)|</math> ，所以 <math>|Z(G)| > 1</math>。

== 子群和一般子集的共轭 ==

更一般的来讲，给定任意''G''的[[子集]]''S''（''S''不必是子群），我们定义一个''G''的子集''T''为''S''的共轭，当且仅当存在某个''g''属于''G''满足''T'' = ''gSg''<sup>−1</sup>。我们可以定义'''Cl(''S'')'''为所有共轭于''S''的子集''T''的集合。

一个常用的定理是，给定任意子集''S''，N(''S'')（''S''的[[正规化子]]）的[[陪集|指数]]等于Cl(''S'')的次数：

:|Cl(''S'')| = [''G'' : N(''S'')]

这是因为，如果''g''和''h''属于''G''，则''gSg''<sup>−1</sup> = ''hSh''<sup>−1</sup>当且仅当''gh''<sup>&nbsp;−1</sup>属于N(''S'')，换句话说，当且仅当''g''和''h''属于N(''S'')的同一个[[陪集]]。

注意这个公式推广了前面关于共轭类元素的个数的定理（''S'' = {''a''}的特殊情况）。

上述定理在讨论''G''的子群时尤其有用。子群可以由此分为等价类，两个子群属于同一类当且仅当它们共轭。共轭子群是[[群同构|同构]]的，但是同构子群未必共轭（例如，交换群可以有两个不同的互相同构的子群，但是它们不可能共轭）。

== 作为群作用的共轭类 ==

如果对于任意两个''G''中的元素''g''和''x''定义
:''g.x'' = ''gxg''<sup>−1</sup>
则我们有了一个''G''在''G''上的[[群作用]]。该作用的轨道就是共轭类，而给定元素的定点子群就是该元素的中心化子。

同样，我们可以定义一个在''G''的所有子群或者所有子集的集合上的''G''的群作用如下
:''g.S'' = ''gSg''<sup>−1</sup>。

== 参看 ==
* [[群]]
* [[群作用]]
* [[中心化子和正规化子]]

== 参考 ==
* Herstein, I.N. ''Abstract Algebra'', Wiley, ISBN 0-471-36879-2
* Dummit, David and Richard Foote. ''Abstract Algebra'', Wiley, ISBN 0-471-43334-9
* [[Serge Lang|Lang, Serge]]. ''Algebra'', Springer, ISBN 0-387-95385-X

{{ModernAlgebra}}

[[Category:群论|G]]