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[[File:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|复平面上<math>z</math>和它的共轭复数<math>\overline{z}</math>的表示。]]
在[[數學]]中，[[複數 (數學)|複數]]的'''共軛複數'''（常簡稱'''共軛'''）是對[[虛部]]變號的運算

== 正式定義 ==
[[复数 (数学)|复数]]<math>z = a + bi</math>（<math>a, b \in \mathbb{R}</math>）的共軛定義為：
:<math>\overline{z} = \overline{a+bi}= a - bi</math>

有時也表為：
:<math>z^{*} = {(a+bi)}^{*} = a - bi</math>

如：
:<math>\overline{3-2i} = 3+2i</math> 
:<math>\overline{7} = 7</math>（實數的共軛為自身）
:<math>\overline{i} =-i</math>（純虛數的共軛）
將複數理解為[[複平面]]的一點的話，則[[几何学|几何]]上，複共軛是此點以[[實數]]軸為[[對稱軸]]的[[反射 (數學)|反射]]。

== 性質 ==
對於複數<math>z, w</math>：
:<math>
\begin{array}{l}
\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} \\
\overline{z - w} = \overline{z} - \overline{w} \\
\overline{zw} = \overline{z} \, \overline{w} \\
\overline{\left( \dfrac{z}{w} \right)} = \dfrac{\overline{z}}{\overline{w}} & (w \ne 0) \\
\overline{z} = z & (z \in \mathbb{R}) \\
\overline{z^n} = \overline{z}^n & (n \in \mathbb{Z}) \\
|\overline{z}| = |z| \\
|\overline{z}|^2 = z\overline{z} \\
\overline{(\overline{z})} = z \\
z^{-1} = \dfrac{\overline{z}}{|z|^2} & (z \ne 0)
\end{array}
</math>

一般而言，如果複平面上的函數<math>\phi</math>能表為實係數[[冪級數]]，則有：
:<math>\phi(\overline{z}) = \overline{\phi(z)}</math>

最直接的例子是[[多項式]]，由此可推得實係數多項式之複根必共軛。此外也可用於複[[指數函數]]與複[[對數函數]]（取定一分支）：
:<math>
\begin{array}{l}
\exp(\overline{z}) = \overline{\exp(z)} \\
\log(\overline{z}) = \overline{\log(z)} & (z \neq 0)
\end{array}
</math>
透過[[欧拉公式]]，在極坐標表法下，複數共軛可以寫成
:<math>\overline{re^{i \theta}} = re^{-i \theta}</math>

== 其它觀點' ==
複共軛是複平面上的[[自同構]]，但是並非[[全純函數]]。

記複共軛為<math>\tau</math>，則有<math>\operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R}) = \{ 1, \tau \}</math>。在[[代數數論]]中，慣於將複共軛設想為「無窮素數」的[[弗羅貝尼烏斯映射]]，有時記為<math>F_\infty</math>。

{{複數}}
[[Category:複數]]