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{{NoteTA
|G1=Math
|G2=Physics
}}
{{not|协变与逆变}}
在[[數學]]裏，'''反變'''（contravariant，也稱'''逆變'''）和'''共變'''（covariant，也稱'''協變'''）描述一個[[向量]]（或更廣義來說，[[張量]]）的[[坐標]]，在[[向量空間]]的[[基 (線性代數)|基底]]／坐標系轉換之下，會如何改變。

反變和共變在[[張量場]]的演算中不可或缺，是了解[[狹義相對論]]、[[廣義相對論]]必需的數學基礎。

==轉換方式==
===向量：反變轉換===
* 標記法說明：向量 <math>\mathbf{v}\,\!</math> 是[[向量空間]] <math>V\,\!</math> 的元素。向量基底 <math>\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, ... , \mathbf{e}_n\,\!</math> 構成了向量空間的一個基底，其座標系統為<math>x^1, x^2, ... , x^n\,\!</math>。對應這個基底，向量<math>\mathbf{v}\,\!</math>的分量為<math>v^1, v^2, ..., v^n\,\!</math>，即<math>\textstyle \mathbf{v}=\sum_i v^i \mathbf{e}_i</math>。

（註：<math>v^2\,\!</math> 這符號中的上標<math>2</math>不代表[[平方]]，而是代表第二個坐標，在較基礎的數學上，常寫作 <math>v_2\,\!</math> ，但是，在张量分析领域，指标写作上标或下标牵涉到对张量性质的提示，以及[[愛因斯坦求和約定]]。）

向量空間<math>V</math>有另一個基底<math>\bar{\mathbf{e}}_1, ... ,\bar{\mathbf{e}}_n\,\!</math>，其座標系統為<math>\bar{x}^1, ... ,\bar{x}^n\,\!</math>。對應這個基底，<math>\mathbf{v}\,\!</math> 有分量 <math>\bar{v}^1, \bar{v}^2, ..., \bar{v}^n\,\!</math>，即<math>\textstyle \mathbf{v}=\sum_i \bar{v}^i \bar{\mathbf{e}}_i</math>。

對於1...n之間任意整數 <math>\mu\,\!</math> ，我們知道 <math>\bar{v}^{\mu} \,\!</math> 和 <math>v^1, v^2, ..., v^n\,\!</math> 的關係：
: <math> \bar v^{\mu} = \frac{ \partial \bar{x}^{\mu} }{ \partial  x^1} v^1 + \frac{ \partial \bar{x}^{\mu} }{ \partial x^2} v^2 + ... + \frac{ \partial \bar{x}^{\mu} }{ \partial x^n } v^n \,\!</math>。

使用[[愛因斯坦求和約定]]可寫成：

: <math> \bar{v}^{\mu} = \frac{ \partial \bar{x}^{\mu} }{ \partial  x^i} v^i \,\!</math> 。

===余向量：共變轉換===
假設對偶空間<math>V^*</math>有兩個基底 <math>{\mathbf{dx}^1, \mathbf{dx}^2, ... , \mathbf{dx}^n}\,\!</math>跟<math>\mathbf{d\bar{x}}^1, 
\mathbf{d\bar{x}}^2, ..., \mathbf{d\bar{x}}^n\,\!</math> 。<ref name=Goldstein1980>{{citation|last =Goldstein |first=Herbert|title=Classical Mechanics|year=1980| location=United States of America | publisher=Addison Wesley| edition= 3rd| isbn=0201657023 | language=en}}</ref>{{rp|289-297}}

假設<math>\textstyle\boldsymbol{\omega}\in V^*, \boldsymbol{\omega}=\sum_i \mathbf{\eta}_i\mathbf{dx}^i=\sum_j\bar{\mathbf{\eta}}_jd\bar{\mathbf{x}}^j</math>。
則對於<math>1</math>...<math>n</math>之間其中一個特定的整數 <math>\mu\,\!</math> ，我們知道 <math>\bar{\mathbf{\eta}}_{\mu}\,\!</math> 和 <math>\mathbf{\eta}_1, \mathbf{\eta}_2, ..., \mathbf{\eta}_n\,\!</math> 的關係：

: <math> \bar{\mathbf{\eta}}_{\mu} = \frac{ \partial x^1 }{ \partial \bar{x}^{\mu}} \mathbf{\eta}_1 + \frac{ \partial x^2 }{ \partial \bar{x}^{\mu}} \mathbf{\eta}_2 + ... + \frac{ \partial x^n }{ \partial \bar{x}^{\mu}} \mathbf{\eta}_n \,\!</math> 。

或使用愛因斯坦求和約定寫成：
: <math> \bar{\mathbf{\eta}}_{\mu} = \frac{ \partial x^i }{ \partial \bar{x}^{\mu} } \mathbf{\eta}_{i} \,\!</math> 。

==向量的共變分量和反變分量==
在[[歐幾里得空間]] <math>V\,\!</math> 裏，共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用[[內積]]運算從向量求得餘向量；對於所有餘向量 <math>\mathbf{w}\,\!</math> ，通過下述方程式，向量 <math>\mathbf{v}\,\!</math> 和[[線性泛函]] <math>\alpha(\mathbf{w})\,\!</math> ，唯一地確定了餘向量 <math>\mathbf{w}\,\!</math> ：
:<math>\alpha(\mathbf{w}) = \mathbf{v}\cdot \mathbf{w}\,\!</math> 。

逆過來，通過上述方程式，線性泛函 <math>\alpha(\mathbf{w})\,\!</math> 和每一個餘向量，唯一地確定了向量 <math>\mathbf{v}\,\!</math> 。由於這向量與餘向量的相互辨認，我們可以提到向量的共變分量和反變分量；也就是說，它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。

給予 <math>V\,\!</math> 的一個基底 <math>\mathfrak{f}=(X_1,X_2,\dots,X_n)\,\!</math> ，則必存在一個唯一的對偶基底 <math>\mathfrak{f}^{\sharp}=(Y^1,Y^2,\dots,Y^n)\,\!</math> ，滿足
:<math>Y^i \cdot X_j = \delta^i_j\,\!</math> ；

其中，<math>\delta^i_j\,\!</math> 是[[克羅內克函數]]。

以這兩種基底，任意向量 <math>\mathbf{v}\,\!</math> 可以寫為兩種形式
:<math>\begin{align}
v &= \sum_i v^i[\mathfrak{f}]X_i =  \mathfrak{f}\,\mathbf{v}[\mathfrak{f}]\\
&=\sum_i v_i[\mathfrak{f}]Y^i = \mathfrak{f}^\sharp\,\mathbf{v}[\mathfrak{f}^\sharp]
\end{align}
\,\!</math> <span style="vertical-align:bottom">；</span>

其中，<math>v^i[\mathfrak{f}]\,\!</math> 是向量 <math>\mathbf{v}\,\!</math> 對於基底 <math>\mathfrak{f}\,\!</math> 的反變分量，<math>v_i[\mathfrak{f}]\,\!</math> 是向量 <math>\mathbf{v}\,\!</math> 對於基底 <math>\mathfrak{f}\,\!</math> 的共變分量，

===歐幾里得空間===
[[File:Basis01.jpg|thumb|right|400px|將向量 <math>\mathbf{a}\,\!</math> [[投影]]於坐標軸 <math>\mathbf{e}^i\,\!</math> ，可以求得其反變分量 <math>a^i\,\!</math> ；將向量 <math>\mathbf{a}\,\!</math> 投影於[[坐標曲面]]的[[法線]] <math>\mathbf{e}_i\,\!</math> ，可以求得其共變分量 <math>a_i\,\!</math> 。]]

在[[歐幾里得空間]]Ｒ<sup>3</sup>裏，使用[[內積]]運算，能夠從向量求得餘向量。給予一組可能不是[[標準正交基]]的基底，其基底向量為 <math>\mathbf{e}_1\,\!</math> 、<math>\mathbf{e}_2\,\!</math> 、<math>\mathbf{e}_3\,\!</math> ，就可以計算其對偶基底的基底向量：
:<math> \mathbf{e}^1 = \frac{\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3}{\tau} ; \qquad \mathbf{e}^2 = \frac{\mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_1}{\tau}; \qquad \mathbf{e}^3 = \frac{\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2}{\tau}\,\!</math> ；

其中，<math>\tau=\mathbf{e}_1\cdot(\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3)\,\!</math> 是三個基底向量 <math>\mathbf{e}_1\,\!</math> 、<math>\mathbf{e}_2\,\!</math> 、<math>\mathbf{e}_3\,\!</math> 所形成的[[平行六面體]]的體積。

反過來計算，
:<math> \mathbf{e}_1 = \frac{\mathbf{e}^2 \times \mathbf{e}^3}{\tau'} ; \qquad \mathbf{e}_2 = \frac{\mathbf{e}^3 \times \mathbf{e}^1}{\tau'}; \qquad \mathbf{e}_3 = \frac{\mathbf{e}^1 \times \mathbf{e}^2}{\tau'}\,\!</math> ；

其中，<math>\tau'=\mathbf{e}^1\cdot(\mathbf{e}^2 \times \mathbf{e}^3)=1/\tau\,\!</math> 是三個基底向量 <math>\mathbf{e}^1\,\!</math> 、<math>\mathbf{e}^2\,\!</math> 、<math>\mathbf{e}^3\,\!</math> 所形成的平行六面體的體積 。

雖然 <math>\mathbf{e}_i\,\!</math> 與 <math>\mathbf{e}^j\,\!</math> 並不相互標準正交，它們相互對偶：
:<math>\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}^j = \delta_i^j\,\!</math> 。

這樣，任意向量 <math>\mathbf{a}\,\!</math> 的反變坐標為
:<math> a^1 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^1; \qquad a^2 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^2; \qquad a^3 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^3\,\!</math> 。

類似地，共變坐標為
:<math> a_1 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_1; \qquad a_2 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_2; \qquad a_3 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_3\,\!</math> 。

這樣， <math>\mathbf{a}\,\!</math> 可以表達為
:<math>\mathbf{a} = a_i \mathbf{e}^i = a_1 \mathbf{e}^1 + a_2 \mathbf{e}^2 + a_3 \mathbf{e}^3  \,\!</math> ，
或者，
:<math>\mathbf{a} = a^i \mathbf{e}_i = a^1 \mathbf{e}_1 + a^2 \mathbf{e}_2 + a^3 \mathbf{e}_3\,\!</math> 。

綜合上述關係式，
:<math> \mathbf{a} = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_i) \mathbf{e}^i = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^i) \mathbf{e}_i \,\!</math> 。

向量 <math>\mathbf{a}\,\!</math> 的共變坐標為
:<math>a_i = \mathbf{a}\cdot \mathbf{e}_i = (a^j \mathbf{e}_j)\cdot \mathbf{e}_i = (\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_i) a^j=g_{ji}a^j\,\!</math> ；

其中，<math>g_{ji}=\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_i\,\!</math> 是[[度規張量]]。

向量 <math>\mathbf{a}\,\!</math> 的反變坐標為
:<math>a^i = \mathbf{a}\cdot \mathbf{e}^i = (a_j \mathbf{e}^j)\cdot \mathbf{e}^i = (\mathbf{e}^j\cdot\mathbf{e}^i) a_j =g^{ji}a_j\,\!</math> ;

其中，<math>g^{ji}=\mathbf{e}^j\cdot\mathbf{e}^i\,\!</math> 是[[度規張量|共軛度規張量]]。

共變坐標的標號是下標，反變坐標的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基，或反變基底向量組成的基底是標準正交基，則共變基底與反變基底相互等價。那麼，就沒有必要分辨共變坐標和反變坐標，所有的標號都可以用下標來標記。

==在相對論上的應用==
根據[[相對性原理]]，一條物理定律在不同的系統，都應該有相同的「形式」。

[[狹義相對論]]討論的是[[閔可夫斯基空間]]，它是一種平直空間。

==参考来源==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:G}}
[[Category:向量]]
[[Category:張量]]
[[Category:微分幾何]]
[[Category:黎曼幾何]]
[[Category:多重線性代數]]