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{{NoteTA
|G1=Math
|1=zh-cn:数学对象;zh-tw:數學物件;
}}
[[File:Probability venn event.svg|thumb|320px|全集與餘集的關係，以文氏圖表示。]]
[[数学]]上，特别是在[[集合论]]和[[数学基础]]的应用中，'''全类'''（Universe，若是集合，则稱作'''全集'''）是一个（在某种程度上）包含了所有的研究对象和[[集合 (数学)|集合]]的[[类_(数学)|类]]。

== 在特定场合下 ==

这个一般概念有數個精确的版本。最简单的情況下可以將任意集合<math>U</math>定義成全集，只要研究的對象都是其子集。若研究[[实数]]，则所有实数的集合[[数轴|实数线]]'''<math>\mathbb{R}</math>'''就是全集。在1870年代和1880年代，[[康托尔]]第一次发展现代[[朴素集合论]]和[[势 (数学)|势]]的概念以應用於[[实分析]]，這時他默认地使用著的全集就是实数线<math>\mathbb{R}</math>。康托尔一开始关心的也只是'''<math>\mathbb{R}</math>'''的[[子集]]。

这种全集概念在[[文氏图]]的应用中有所反映。在文氏图中，所有的操作按例都是在一个表示全集<math>U</math>的大长方形內進行。集合通常表示为圆形，但这些集合只能是''<math>U</math>''的子集。集合<math>A</math>的[[补集]]则为长方形中表示''<math>A</math>''的圆形的外面的部分。严格地说，这是''<math>A</math>''对''<math>U</math>''的''相对补集'<nowiki/>''<math>U\backslash A</math>'''；但在''<math>U</math>''是全集的场合下，这可以被当成是''<math>A</math>''的''绝对补集'<nowiki/>'''''<math>A^C</math>。同样的，有一個稱為[[空交集]]的概念，即[[零]]个集合的[[交集]]（指没有集合，而不是[[空集]]）。要是没有全集，空交集就會是所有东西组成的集合，这一般被认为是不可能的；但有了全集，空交集可以被当成是有条件（即''<math>U</math>''）下的所有东西组成的集合。

在基于[[布尔代数|布尔格]]的代数方法研究基础集合理论时，这种惯例非常有用。但对[[公理化集合论]]的一些非标准形式并非如此，例如[[新基础集合论]]，这里所有集合的[[类 (数学)|类]]并不是布尔格，而仅仅是[[相对有补格]]。相反，''<math>U</math>''的[[幂集]]，即''<math>U</math>''的所有子集组成的集合，是一个布尔格。上述的绝对补集是布尔格中的[[补运算]]；而空交集''<math>U</math>''则作为布尔格中的[[最大元]]（或空[[交运算|交]]）。这里，适用于补运算、交运算和[[并运算]]（集合论中的[[并集]]）的[[德·摩根律]]成立，而且对空交和空并（即[[空集]]）也成立。

== 在一般数学中 ==

然而，當考虑過给定集合<math>X</math>的子集（在康托尔的例子中，<math>X=\mathbb{R}</math>），可能就会进一步关心''<math>X</math>''的子集组成的集合。
（例如：''<math>X</math>''上的一个[[拓扑空间|拓扑]]就是一个''<math>X</math>''的子集组成的集合。）
这些不同的''<math>X</math>''的子集组成的集合本身，一般而言并不是''<math>X</math>''的子集，却是''<math>X</math>''的幂集<math>\mathbf{P} X</math>的子集。当然，这还没有完；可以进一步考虑''<math>X</math>''的子集组成的集合所组成的集合，等等。另一个方向是：可以考慮[[笛卡尔积]]<math>X\times X</math>，或从''<math>X</math>''映射到其自身的[[函数 (数学)|函数]]。接著，還可以考慮笛卡尔积上的函数，或从''<math>X</math>''映射到<math>X\times \mathrm{P} X</math>的函数，等等。

这样，尽管主要关心的是''<math>X</math>''，仍然需要一个比''<math>X</math>''大很多的全集。顺着上面的思路，可能需要''<math>X</math>''上的'''超结构'''。这可以通过[[结构递归]]来定义，如下：
* 设<math>\mathbf{S}_0X</math>为''<math>X</math>''自身。
* 设<math>\mathbf{S}_1X</math>为''<math>X</math>''和<math>\mathbf{P} X</math>的[[并集]]。
* 设<math>\mathbf{S}_2X</math>为<math>\mathbf{S}_1X</math>和<math>\mathbf{P}(\mathbf{S}_1X)</math>的并集。
* 一般的，设<math>\mathbf{S}_{n+1}X</math>为<math>\mathbf{S}_nX</math>和<math>\mathbf{P}(S_nX)</math>的并集。则''<math>X</math>''上的超结构，写作<math>\mathbf{S}X</math>，为<math>\mathbf{S}_0X</math>，<math>\mathbf{S}_1X</math>，<math>\mathbf{S}_2X</math>，等等，的并集；或
: <math> \mathbf{S}X := \bigcup_{i=0}^{\infty} \mathbf{S}_{i}X \mbox{.} \! </math>

注意到，无论初始集合''<math>X</math>''如何，[[空集]]总是属于<math>\mathbf{S}_1X</math>。重定义空集为[[冯·诺伊曼序数]]<math>[0]</math>。则<math>\{[0]\}</math>，是仅含有空集為元素的集合，属于<math>\mathbf{S}_2X</math>；定义为冯·诺伊曼序数<math>[1]</math>。类似的，<math>\{[1]\}</math>属于<math>\mathbf{S}_3X</math>，则<math>\{[0]\}</math>和<math>\{[1]\}</math>的并集<math>\{[0],[1]\}</math>也属于该集合；定义为冯·诺伊曼序数<math>[2]</math>。重复这个过程，所有的[[自然数]]都通过其冯·诺伊曼序数在超结构中表现出来。然后，若<math>x</math>和<math>y</math>属于这个超结构，则<math>\{\{x\},\{x,y\}\}</math>（这个集合表示了[[有序对]]<math>(x,y)</math>）也属于它。从而，这个超结构将包含各种所想要的笛卡尔积。而且，这个超结构也包含各种[[函数 (数学)|函数]]和[[关系 (数学)|关系]]，因为他们可以被表示为笛卡尔积的子集。以及，还能够得到有序[[n元组| ''n''元组]]，表示定義域为冯·诺伊曼序数<math>[n]</math>的函数。等等。

所以，就算仅从<math>X=\{\}</math>出发，也可以构造大量的用于数学研究的集合，它们都是在{}上的超结构裡的某個元素。但是，這樣<math>\mathbf{S}\{\}</math>的每个元素都會是[[有限集合]]。每个自然数都属于<math>\mathbf{S}\{\}</math>，但“所有”自然数的集合<math>\mathbb{N}</math>不属于<math>\mathbf{S}\{\}</math>（尽管它是<math>\mathbf{S}\{\}</math>的“子集”）。实际上，''<math>X</math>''上的超结构包含了所有的[[遗传有限集合]]。这样，它可以被认为是“[[有限主义]]数学的全集”。可以想像一下，假若19世纪的有限主义者[[利奥波德·克罗内克]]當時能使用到这个全集的話；他會相信每个自然数都存在，而集合'''<math>\mathbb{N}</math>'''（一个"完全的[[无穷大]]"）則不然。

然而，对一般的数学家（它们不是有限主义者）来说，<math>\mathbf{S}\{\}</math>是不足够的，因为尽管'''<math>\mathbb{N}</math>'''是<math>\mathbf{S}\{\}</math>的子集，但'''<math>\mathbb{N}</math>'''的幂集仍然不是。特别的，任意的实数集合都不是。所以，需要重新开始这个过程，来构造<math>\mathbf{S}(\mathbf{S}\{\})</math>。不過，為简单起见，就只用给出的自然数集合'''<math>\mathbb{N}</math>'''来构造<math>\mathbf{S}\mathbb{N}</math>，即'''<math>\mathbb{N}</math>'''上的超结构。这通常被认为是“[[一般数学]]的全集”。其意思是指，一般研究的所有[[數學物件]]，都已作為这个全集的元素而包含其中。例如：任何通常的[[实数的构造]]方式（比如通過[[戴德金分割]]）都會属于'''<math>\mathbf{S}\mathbb{N}</math>'''。即使是[[非标准分析]]，也能够在自然数的一個[[非标准模型]]上的超结构中进行。

應當注意，这個部分在觀念上有些改变，这裡全集是任何被关心的集合<math>U</math>。上个部分中，被研究的集合是全集的''子集''；而现在，它们是全集的''元素''。这样尽管<math>\mathbf{P}(\mathbf{S}X)</math>是一个布尔格，但相应的<math>\mathbf{S}X</math>不是。因此，几乎不直接采用布尔格和文氏图来描述这种超结构式的全集；在上个部分中，它们被用来描述幂集式的全集。作为替代，可以采用独立的布尔格<math>\mathbf{P}A</math>，这里<math>A</math>是<math>\mathbf{S}X</math>中任意相应的集合；则<math>\mathbf{P}A</math>是<math>\mathbf{S}X</math>的子集（实际上它属于<math>\mathbf{S}X</math>）。

== 在集合论中 ==

正式來說，可以給出一個精确定义，來說明為何'''<math>\mathbf{S}\mathbb{N}</math>'''为一般數學的全集；这是[[策梅洛集合论]]的[[模型论|模型]]。策梅洛集合论是由[[恩斯特·策梅洛]]最初在1908年提出的[[公理集合论]]。策梅洛集合论的成功完全在于它能够公理化"一般"数学，完成了康托尔在三十年之前开始的课题。但策梅洛集合论对进一步发展公理集合论和[[数学基础]]中的其他工作，特别是[[模型论]]，是不够的。举一个戏剧性的例子：上述超结构的描述并不能独立地在策梅洛集合论中完成！
最后一步，构造<math>\mathbf{S}</math>成为一个无限并集，需要[[代换公理]]；这条公理在1922年被加入策梅洛集合论，成为如今通用的[[策梅洛-弗兰克尔集合论]]。所以，尽管一般数学可以在'''<math>\mathbf{S}\mathbb{N}</math>'''''中''进行，''对'''''<math>\mathbf{S}\mathbb{N}</math>'''的讨论則不再"一般"，而是轉向[[元数学]]的領域。

但是，若在超级的集合论中，可以发现上述的超结构过程只是[[超限归纳法]]的开始。回到<math>X=\{\}</math>（空集），并用（标准的）符号<math>V_i</math>表示<math>\mathbf{S}_ i\{\}</math>。则有<math>V_0=\{\}</math>，<math>V_1=\mathbf{P}\{\}</math>，等等，和前面一样。但是，所谓"超结构"现在只是这个列中的下一项：<math>V_\omega</math>，这里<math>\omega</math>为第一个[[无穷序数]]。按照序数知识，得到：
: <math> V_{i} := \bigcup_{j<i} \mathbf{P}V_j \! </math>

可以对''任意''序数<math>i</math>定义<math>V_i</math>。所有<math>V_i</math>的并集为[[冯·诺伊曼全集]]<math>V</math>：

: <math> V := \bigcup_{i} V_{i} \! </math>。注意，每个单独的''<math>V_i</math>''都是集合，但他们的并集''<math>V</math>''是一个[[真类]]。跟代换公理差不多时候加入[[策梅洛-弗兰克尔集合论|ZF系统]]的[[正则公理]]斷言，''每个''集合都属于''<math>V</math>''。

[[Category:集合論基本概念|Q]]
[[Category:集合族|Q]]

== 参见 ==
*[[自由对象]]

== 参考书目 ==
* Mac Lane, Saunders (1998). ''Categories for the Working Mathematician''. Springer-Verlag New York, Inc.

== 外部链接 ==
* {{springer|title = Universe|id = p/u095770}}
* {{MathWorld|title = Universal Set|id = UniversalSet}}