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[[Image:Domain of holomorphy illustration.svg|thumb|right|定義中的集合]]在數學的[[多複變]]函數論中，'''全純域'''是在下述意義下為極大的區域：在其上存在一個[[全純函數]]，使得不能延拓至更大的區域上。

正式而言，在''n''維複空間<math>{\mathbb{C}}^n</math>中的[[開集]]<math>\Omega</math>稱為'''全純域'''，如果不存在非空開集<math>U \subset \Omega</math>和<math>V \subset {\mathbb{C}}^n</math>，其中<math>V</math>是[[連通]]的， <math>V \not\subset \Omega</math>，以及<math>U \subset \Omega \cap V</math>，使得對在<math>\Omega</math>上的每個[[全純函數]]<math>f</math>，存在一個在<math>V</math>上的全純函數<math>g</math>，在<math>U</math>上有<math>f = g</math>。

當''n'' = 1時，每個開集都是全純域。但是，當''n'' ≥ 2時，{{tsl|en|Hartogs lemma|哈托格斯引理}}指出存在不是全純域的區域。

==等價條件==
對一個區域<math>\Omega</math>以下條件等價：
# <math>\Omega</math>是全純域。
# <math>\Omega</math>是{{tsl|en|holomorphically convex|全純凸}}的。
# <math>\Omega</math>是{{tsl|en|pseudoconvex|偽凸}}的。
# <math>\Omega</math>是'''萊維凸'''——對每個解析緊曲面列<math>S_{n} \subseteq \Omega</math>，使得<math>S_{n} \rightarrow S</math>及<math> \partial S_{n} \rightarrow \Gamma</math>對某集合<math>\Gamma</math>，我們有<math>S \subseteq \Omega</math>（<math>\partial \Omega</math> 不能用一個解析曲面列「從裏面觸碰」。）
# <math>\Omega</math>有'''局部萊維性質'''——對每個點<math>x \in \partial \Omega</math>，存在<math>x</math>的鄰域<math>U</math>，及在<math>U \cap \Omega</math>上全純的<math>f</math>，使得<math>f</math>不能延拓到<math>x</math>的任何鄰域上。

其中關係<math>1 \Leftrightarrow 2, 3 \Leftrightarrow 4, 1 \Rightarrow 4, 3 \Rightarrow 5</math>是標準結果。（<math>1\Rightarrow 3</math>見[[岡引理]]。）主要的困難在證明<math>5 \Rightarrow 1</math>，即從只是局部定義的不可延拓函數，構造一個不可延拓的全局全純函數。這個問題稱為{{tsl|en|Levi problem|萊維問題}}，以{{tsl|en|Eugenio Elia Levi}}命名。最先解出問題的是[[岡潔]]，之後是[[拉爾斯·霍爾曼德爾]]，用的方法包括泛函分析和偏微分方程（[[D-bar問題|<math>\bar{\partial}</math>問題]]的一個結果）。

==性質==
* 若<math>\Omega_1, \dots, \Omega_{n}</math>是全純域，則其交<math>\Omega = \bigcap_{j=1}^{n} \Omega_j</math>也是全純域。
* 若<math>\Omega_{1} \subseteq \Omega_{2} \subseteq \dots</math>是全純域的上升列，則其併<math>\Omega = \bigcup_{n=1}^{\infty}\Omega_{n}</math>也是全純域。（見{{tsl|en|Behnke-Stein theorem|本克－施泰因定理}}）
* 兩個全純域<math>\Omega_{1}, \Omega_{2}</math>的積<math>\Omega = \Omega_{1} \times \Omega_{2}</math>是全純域。
* 第一{{tsl|en|Cousin problems|庫贊問題}}在全純域內可解；若再加上一些拓撲假設，第二庫贊問題也可解。

==參見==
*{{tsl|en|Behnke-Stein theorem|本克－施泰因定理}}
*{{tsl|en|Levi pseudoconvex|萊維偽凸}}
*{{tsl|en|Stein manifold|施泰因流形}}

==參考==
* Steven G. Krantz. ''Function Theory of Several Complex Variables'', AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
* Boris Vladimirovich Shabat, ''Introduction to Complex Analysis'', AMS, 1992

[[分類:多複變]]