查看“︁全形 (數學)”︁的源代码

在[[數學]]的[[群論]]中，一個群''G''的'''全形'''Hol(''G'')是一個特定的群，同時包含群''G''和其[[自同構]]群Aut(''G'')。群的全形可用[[半直積]]或[[交換群]]來描述。

==以半直積描述==
記群''G''的自同構群為Aut(''G'')，則''G''的全形Hol(''G'')是
:<math>\operatorname{Hol}(G)=G\rtimes \operatorname{Aut}(G)</math>
其中的[[外半直積]]是對於Aut(''G'')在''G''上的自然作用，因此全形上的運算如下：令<math>(g,\alpha), (h,\beta)</math>為Hol(''G'')的元，其中''g'', ''h''是''G''的元，<math>\alpha, \beta</math>是''G''的自同構，則
:<math>(g,\alpha)(h,\beta)=(g\alpha(h),\alpha\beta)</math>。

==以交換群描述==
群''G''以左乘和右乘作用在自身的元素上，定義出兩個從''G''到''G''上的對稱群Sym(''G'')的[[群同態]]。左乘對應的群同態為
:<math>\lambda:\ G\to\operatorname{Sym}(G)</math>，<math>\lambda(g)(h)=g\cdot h</math>；
右乘對應的群同態為
:<math>\rho:\ G\to\operatorname{Sym}(G)</math>，<math>\rho(g)(h)=h\cdot g^{-1}</math>。
這兩個群同態稱為''G''的左及右[[正規表示]]，並且都是[[單射]]（[[凱萊定理]]）。換言之，''G''同構於<math>\lambda(G)</math>和<math>\rho(G)</math>。''G''的全形<math>\operatorname{Hol}(G)</math>是<math>\lambda(G)</math>在<math>\operatorname{Sym}(G)</math>中的[[正規化子]]。

==參考==
* {{Citation | last1=Hall | first1=Marshall, Jr. | title=The theory of groups | publisher=Macmillan | id={{MathSciNet | id = 0103215}} | year=1959}}

{{代數小作品}}
[[Category:群論]]