查看“︁內自同構”︁的源代码

在[[抽象代數]]的[[群論]]中，'''內自同構'''（{{lang-en|Inner automorphism}}）是[[群]]的一種[[自同構]]。群內部的元素的[[共軛類|共軛作用]]可以定義一個自同構，因而得名「內」自同構。

== 定義 ==

設 <math>g</math> 為[[群]] <math>G</math> 的一個元素，則 <math>g</math> 對應的內自同構可以由如下的方程給出

: <math>\iota_g : G\to G</math>
: <math>x \mapsto gxg^{-1}</math>

該方程是 <math>G</math> 的一個[[自同態]]，因為對任意 <math>x_1, x_2 \in G</math> ，有

: <math>\iota_g(x_1x_2) = g^{-1}x_1x_2g = g^{-1}x_1g g^{-1}x_2g = (g^{-1}x_1g)(g^{-1}x_2g) = \iota_g(x_1) \iota_g(x_2)</math> 

所有由 <math>G</math> 的元素的共軛作用給出的自同構稱為'''內自同構'''。

==性質==
若''g''在''G''的[[中心 （群論）|中心]]Z(''G'')內，則<math>\iota_g</math>是平凡的。因此[[阿貝爾群]]的內自同構都是平凡的。一般而言，<math>\iota_g</math>的[[不動點]]集，正是''g''的[[中心化子]]C<sub>''G''</sub>(''g'')。

內自同構<math>\iota_g</math>的[[逆元]]是<math>\iota_g^{-1}=\iota_{g^{-1}}</math>。兩個內自同構<math>\iota_g, \iota_h</math>的[[複合函數|複合]]是<math>\iota_g\circ \iota_h=\iota_{gh}</math>

由群的中心的基本性質可知，若Inn(''G'')是[[循環群]]，則Inn(''G'')是平凡群。

若Inn(''G'')=Aut(''G'')且''G''無中心，則''G''稱為[[完備群]]。

若''G''是[[完滿群]]且Inn(''G'')是[[單群]]，則''G''稱為[[擬單群]]。

==內自同構群==
群 <math>G</math> 的內自同構組成內自同構群 <math>\text{Inn}(G)</math> 。內自同構群 <math>\text{Inn}(G)</math> 與群 <math>G</math> 對其[[中心_(群論)|中心]] <math>Z(G)</math> 的商群 <math>G / Z(G)</math> 同構。

內自同構群 <math>\text{Inn}(G)</math> 是 <math>G</math> 的自同構群 <math>\text{Out}(G)</math> 中的[[正規子群]]，其對應商群記為 <math>\text{Out}(G) = \text{Aut}(G) / \text{Inn}(G)</math> ，稱為[[外自同構群]]。

上述關係可以用以下兩個[[短正合列]]表示：
:<math>1\to \mathrm Z(G)\to G\to \mathrm{Inn}(G)\to 1</math>
:<math>1\to \mathrm{Inn}(G)\to \mathrm{Aut}(G)\to \mathrm{Out}(G)\to 1</math>

==正規子群==
群 <math>G</math> 的子群 <math>H</math> 是 <math>G</math> 的[[正規子群]]若 <math>H</math> 在 <math>G</math> 的任一內自同構的作用下不變。這時 <math>G</math> 的內自同構限制到 <math>H</math> 上時是 <math>H</math> 的一個自同構（未必是 <math>H</math> 的內自同構），因而有群同態<math>G\to\mathrm{Aut}(H)</math>。這個群同態的[[核 (代數)|核]]是 <math>H</math> 在 <math>G</math> 中的[[中心化子]] <math>C_G(H)</math> 。

對一般的子群''H''，可取其在''G''中的[[正規化子]]N<sub>''G''</sub>(''H'')，則''H''是N<sub>''G''</sub>(''H'')的正規子群，故有群同態<math>\mathrm N_G(H)\to\mathrm{Aut}(H)</math>，其核是C<sub>''G''</sub>(''H'')。因此N<sub>''G''</sub>(''H'')/C<sub>''G''</sub>(''H'')可以[[嵌入 (數學)|嵌入]]到Aut(''H'')內，即
:<math>\mathrm N_G(H)/\mathrm C_G(H)\to \mathrm{Aut}(H)</math>
是[[單射]]。

==參考==
* {{Citation | last1=Rotman | first1=Joseph J. | title=An introduction to the theory of groups | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-94285-8 | year=1994}} (chapter 7).

[[Category:群論]]