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在[[交換代數]]中，一個環的'''克鲁尔維數'''定義為[[素理想]]鏈的最大長度。此概念依數學家 Wolfgang Krull（1899年-1971年）命名。

== 定義 ==
設交換環 <math>R</math> 中有 <math>n+1</math> 個[[素理想]] <math>P_0, \ldots, P_n</math>，使得
: <math>P_0\subsetneq P_1\subsetneq \ldots \subsetneq P_n</math>
則稱之為長度為 <math>n</math> 的'''素理想鏈'''，一個無法插入新的素理想的鏈被稱作'''極大'''的。<math>R</math> 的'''克鲁尔維數'''定義為素理想鏈的最大可能長度，這也等於是 <math>R</math> 中素理想的最大可能[[高度 (環論)|高度]]。

根據定義， <math>R</math> 的維數與對素理想的[[局部化]]有下述關係
: <math> \dim R = \sup \{ \dim R_\mathfrak{p} : \mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}R \} </math>
其中 <math>\mathrm{Spec}R</math> 表 <math>R</math> 的所有素理想所成集合。我們也可以僅考慮為[[極大理想]]的 <math>\mathfrak{p}</math>。當 <math>R</math> 為[[鏈環]]時，對各極大理想的局部化皆有相同維數；[[代數幾何]]處理的交換環通常都是鏈環。

== 例子與性質 ==

例如在環 <math> (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})[X,Y,Z]</math> 中可考慮以下的素理想鏈

: <math> (2) \subsetneq (2,x) \subsetneq (2,x,y) \subsetneq (2,x,y,z) </math>

因此 <math>\dim (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})[X,Y,Z] \geq 3</math>；事實上可證明其維數確實為 3。以下是克鲁尔維數的幾個一般性質：

* 零維的[[整環]]是[[体 (数学)|域]]。
* [[離散賦值環]]與[[戴德金整環]]是一維的。
* 若 <math>\dim R = k</math>，則 <math>k+1 \leq \dim R[X] \leq 2k+1</math>；當 <math>R</math> 為[[諾特環]]時則 <math>\dim R[X] = k+1</math>。
* 若 <math>k</math> 為[[体 (数学)|域]]，則 <math>\dim k[X_1, \ldots, X_n] = n</math>。
* 若 <math>B</math> 為 <math>A</math>-[[交換環上的代數|代數]]，同時又是有限生成的 <math>A</math>-模，則 <math>\dim B = \dim A</math>。

== 與幾何的關係 ==
在[[代數幾何]]中，一個[[概形]]的維數被定義為各[[局部環]]的克鲁尔維數的[[上確界]]；對於仿射概形 <math>X = \mathrm{Spec} A</math>，則回歸到 <math>\dim X = \dim A</math>。

設 <math>k</math> 為域，<math>R</math> 是有限型 <math>k</math>-整代數，這是代數幾何中的主要案例。根據[[諾特正規化引理]]，存在非負整數 <math>d</math> 及 <math>R</math> 中彼此代數獨立的元素 <math>x_1, \ldots, x_d</math> ，使得 <math>R</math> 是有限生成之 <math>k[x_1, \ldots, x_d]</math>-模，因此 <math>\dim R = d</math>。從幾何觀點看，<math>\mathrm{Spec} R</math> 此時是 <math>\mathbb{A}^d_k</math> 的有限分歧覆蓋，因而克鲁尔維數確實合乎下述幾何直觀：
# <math>\dim \mathbb{A}^d_k = d</math>
# 若 <math>X \rightarrow Y</math> 是分歧覆蓋，則 <math>\dim X = \dim Y</math>。

特別是當 <math>k=\mathbb{C}</math> 時，代數簇的克鲁尔維數等於[[複幾何]]中定義的維數。

== 文獻 ==
* H. Matsumura, ''Commutative algebra'' ISBN 0-8053-7026-9

{{维度}}

[[Category:交換代數|K]]
[[Category:代數幾何|K]]
[[Category:维度]]