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[[线性代数]]中，由''n''阶[[矩阵|方阵]]''A''与''n''维向量''b''生成的''r''阶'''克雷洛夫子空间'''是''b''在''A''的前''r''次幂下（始于<math>A^0=I</math>）的[[列空间]][[线性生成空间|张成]]的[[线性子空间]]，即<ref>{{Cite book |last=Nocedal |first=Jorge |title=Numerical optimization |last2=Wright |first2=Stephen J. |date=2006 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-30303-1 |edition=2nd |series=Springer series in operation research and financial engineering |location=New York, NY |pages=108}}</ref><ref name="PrincetonCompanion">{{Citation|last=Simoncini|first=Valeria|author-link=Valeria Simoncini|year=2015|title=Krylov Subspaces|editor=Nicholas J. Higham|display-editors=etal|encyclopedia=The Princeton Companion to Applied Mathematics|pages=113–114|publisher=Princeton University Press}}</ref>
:<math>\mathcal{K}_r(A,b) = \operatorname{span} \, \{ b, Ab, A^2b, \ldots, A^{r-1}b \}. </math>

==背景==
这一概念得名于苏联应用数学家、海军工程师Alexei Krylov，他在1931年发表了一篇关于这一概念的论文。<ref>{{cite journal |first=A. N. |last=Krylov |title=О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем |journal=Izvestiia Akademii Nauk SSSR |year=1931 |volume=7 |issue=4 |pages=491–539 |language=ru |trans-title=On the Numerical Solution of Equation by Which are Determined in Technical Problems the Frequencies of Small Vibrations of Material Systems |url=http://mi.mathnet.ru/eng/izv/y1931/i4/p491 }}</ref>

==性质==
* <math>\mathcal{K}_r(A,b), A\,\mathcal{K}_r(A,b)\subset \mathcal{K}_{r+1}(A,b)</math>.
* 令<math>r_0 = \operatorname{dim} \operatorname{span} \, \{ b, Ab, A^2b, \ldots \}</math>，则<math>\{ b, Ab, A^2b, \ldots, A^{r-1}b \}</math>是线性无关的，除非<math>\forall r>r_0,\ \mathcal{K}_r(A,b) \subset \mathcal{K}_{r_0}(A,b)</math>，<math>\operatorname{dim} \mathcal{K}_{r_0}(A,b) = r_0</math>。因此<math>r_0</math>是克雷洛夫子空间<math>\mathcal{K}_r(A,b)</math>的最大维度。
* 最大维度满足<math>r_0\leq 1 + \operatorname{rank} A ,\ r_0 \leq n</math>. 
* 考虑<math>\dim \operatorname{span} \, \{ I, A, A^2, \ldots \} = \deg\,p(A)</math>，其中<math>p(A)</math>是''A''的[[极小多项式 (线性代数)|极小多项式]]。我们有<math>r_0\leq \deg\,p(A)</math>。此外<math>\forall A,\ \exists b</math>，对它来说此约束是紧密的，即<math>r_0 = \deg\,p(A)</math>。
* <math>\mathcal{K}_r(A,b) </math>是由''b''产生的[[扭化]]<math>k[x]</math>-模<math>(k^n)^A</math>的循环子模，其中<math>k^n</math>是''k''上的线性空间。
* <math>k^n</math>可分解为克雷洛夫子空间的直和。{{clarify|date=2023年10月}}

==使用==
克雷洛夫子空间用于寻找高维[[线性方程组|线性代数问题]]的近似解。<ref name="PrincetonCompanion"/>[[控制论]]的很多[[线性动态系统]]检测，特别是与[[可控制性]]和[[可观测性]]相关的测试，都要检查克雷洛夫子空间的秩。测试等同于寻找与系统/输出映射相关的[[格拉姆矩阵#格拉姆行列式|格拉姆行列式]]的张成空间，因此不可控与不可观测子空间只是克雷洛夫子空间的正交补。<ref name="Linear Systems Theory">{{Citation|last=Hespanha|first=Joao|year=2017|title=Linear Systems Theory|publisher=Princeton University Press}}</ref>
[[阿诺德迭代法]]等现代[[迭代法]]可用于寻找大型[[稀疏矩阵]]的特征值，或求解大型线性方程组。这些方法尽量避免矩阵间的运算，而将向量与矩阵相乘。从向量''b''开始，可以计算<math>A b</math>，然后将向量与''A''相乘，求得<math>A^2 b</math>等等。所有这样的算法都称作克雷洛夫子空间方法，是目前数值线性代数中最成功的方法之一。这些方法可用于能计算矩阵-向量乘法而无''A''的显式表示的情形，从而产生了[[无矩阵法]]。

==问题==
由于[[幂迭代]]的特性，向量很快就会变得近乎[[线性相关]]，因此依赖于克雷洛夫子空间的方法经常要[[正交化]]，例如[[厄米矩阵]]的[[兰佐斯算法]]或更一般矩阵的[[阿诺德迭代法]]。

==现有方法==
最著名的克雷洛夫法有[[共轭梯度法]]、诱导降维法、[[广义最小残量方法]]、[[稳定双共轭梯度法]]、准最小残差法、无转置准最小残差法、[[最小残差法]]等等。
== 另见 ==
* [[迭代法]]

==参考文献==
{{reflist}}

==阅读更多==
* {{cite book|last=Nevanlinna|first=Olavi|title=Convergence of iterations for linear equations|series=Lectures in Mathematics ETH Zürich|publisher=Birkhäuser Verlag|location=Basel|year=1993|pages=viii+177 pp|isbn=3-7643-2865-7| mr=1217705}}
* {{cite book | first=Yousef | last=Saad | authorlink=Yousef Saad | title=Iterative methods for sparse linear systems | edition=2nd | year=2003 | publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]] | isbn=0-89871-534-2 | oclc=51266114 | url=https://archive.org/details/iterativemethods0000saad | url-access=registration }}
* Gerard Meurant and Jurjen Duintjer Tebbens: ”Krylov methods for nonsymmetric linear systems - From theory to computations”, Springer Series in Computational Mathematics, vol.57, (Oct. 2020). {{ISBN|978-3-030-55250-3}}, url=https://doi.org/10.1007/978-3-030-55251-0.
* Iman Farahbakhsh: "Krylov Subspace Methods with Application in Incompressible Fluid Flow Solvers", Wiley, {{ISBN|978-1119618683}} (Sep., 2020).

{{应用数学}}

[[Category:数值线性代数]]
[[Category:算子理论]]