查看“︁克萊姆法則”︁的源代码

{{refimprove|time=2022-11-21}}
{{线性代数}}
{{noteTA|G1=Math
}}
'''克萊姆法則'''或'''克拉瑪公式'''（{{lang-en|Cramer's rule / formula}}）是一個[[線性代數]]中的[[定理]]，用[[行列式]]來計算出線性等式組中的所有解。這個定理因[[加布里爾·克拉默|加百列·克萊姆]]（1704年 - 1752年）的卓越使用而命名。在計算上，並非最有效率之法，因而在很多條等式的情況中沒有廣泛應用。不過，這一定理在理論性方面十分有效。

== 基本方程 ==
一個線性方程組可以用[[矩陣]]与[[向量]]的方程來表示：
<center><math>Ax = c\,  \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)</math></center>

其中的<math>A</math>是一个<math>n \times n </math>的[[方塊矩陣]]，而向量 <math>x=( x_1, x_2, \cdots x_n )^T</math> 是一个长度为'''n'''的[[行向量與列向量|行向量]]。<math>c=( c_1, c_2, \cdots c_n )^T</math> 也一样。

克莱姆法则说明：如果<math>A</math>是一个[[可逆矩陣]]（ <math>\det{A} \neq 0</math> ），那么方程(1)有解 <math>x=( x_1, x_2, \cdots x_n )^T</math>，其中

<math>x_i = { \det(A_i) \over \det(A)}</math>     (1)

当中<math>x_i</math>是列向量<math>x</math>的第''i行''（行向量与列向量不一样，解释默认列向量）

當中<math>A_i</math>是列向量<math>c</math>取代了<math>A</math>的第''i列''后得到的矩阵。為了方便，我們通常使用<math>\Delta</math>來表示<math>\det(A)</math>，用<math>\Delta_i</math>來表示<math>\det(A_i)</math>。所以等式(1)可以寫成為：

:<math>x_i = { \Delta_i \over \Delta }\,</math>。

== 抽象方程 ==
{{further|餘因子矩陣}}
設<math>R</math>為一個環，<math>A</math>就是一個包含''<math>R</math>''的系數的<math>n\times n</math>矩陣。所以：

:<math>\mathrm{adj}(A)A = \mathrm{det}(A)I\,</math>

當中<math>\det (A)</math>就是''<math>A</math>''的行列式，以及<math>I</math>就是[[單位矩陣]]。

== 證明概要 ==
对于<math>n</math>元线性方程组
<math>A x = c</math>

把系数矩阵 {{Smallmath|f=A}} 表示成行向量的形式

<math>A = \left( u_1, u_2, \cdots, u_n\right)</math>

由于系数矩阵可逆，故方程组一定有解<math>x^* = A^{-1} c</math>.

设<math>x^* = (x_1, x_2, \cdots, x_n)^T</math>，即

<math>A x^* = \sum_{k=1}^n x_k u_k = c</math>

考虑<math>\Delta_i</math>的值，利用[[行列式]]的[[線性]]和交替性質，有

<math>
\begin{align}
\Delta_i &= det\left(\cdots, u_{i-1}, c, u_{i+1}, \cdots\right) \\
& = det\left(\cdots, u_{i-1}, \sum_{k=1}^n x_k u_k, u_{i+1}, \cdots\right) \\
& = \sum_{k=1}^n x_k \cdot det\left(\cdots, u_{i-1}, u_k, u_{i+1}, \cdots\right)  \\
& = x_i \cdot det\left(\cdots, u_{i-1}, u_i, u_{i+1}, \cdots\right) \\
& = x_i \Delta
\end{align}
</math>

于是

<math>x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta}</math>

== 例子 ==
运用'''克萊姆法則'''可以很有效地解決以下方程组。

已知：
:<math>ax + by = {\color{red}e}\,</math>
:<math>cx + dy = {\color{red}f}\,</math>

使用矩陣來表示時就是：
:<math>\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}e} \\ {\color{red}f} \end{bmatrix}</math>

当矩阵可逆时，x和y可以從克萊姆法則中得出：
:<math>x = \frac { \begin{vmatrix} \color{red}{e} & b \\ \color{red}{f} & d \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { {\color{red}e}d - b{\color{red}f} \over ad - bc}</math>
:以及
:<math>y = \frac { \begin{vmatrix} a & \color{red}{e} \\ c & \color{red}{f} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { a{\color{red}f} - {\color{red}e}c \over ad - bc}</math>

用3×3[[矩陣]]的情況亦差不多。

已知：
:<math>ax + by + cz = {\color{red}j}\,</math>
:<math>dx + ey + fz = {\color{red}k}\,</math>
:<math>gx + hy + iz = {\color{red}l}\,</math>

當中的[[矩陣]]表示為：
:<math>\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}j} \\ {\color{red}k} \\ {\color{red}l} \end{bmatrix}</math>

当矩阵可逆时，可以求出x、y和z：
:<math>x = \frac { \begin{vmatrix} {\color{red}j} & b & c \\ {\color{red}k} & e & f \\ {\color{red}l} & h & i \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }</math>、 &nbsp; <math>y = \frac { \begin{vmatrix} a & {\color{red}j} & c \\ d & {\color{red}k} & f \\ g & {\color{red}l} & i \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }</math> &nbsp; 以及 &nbsp; <math>z = \frac { \begin{vmatrix} a & b & {\color{red}j} \\ d & e & {\color{red}k} \\ g & h & {\color{red}l} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }</math>

=== 微分幾何上的應用 ===
'''克萊姆法則'''在解決[[微分幾何]]的问题时十分有用。

先考慮兩條等式<math>F(x, y, u, v) = 0\,</math>和<math>G(x, y, u, v) = 0\,</math>。其中的u和v是需要考虑的变量，并且它们互不相关。我們可定義<math>x = X(u, v)\,</math>和<math>y = Y(u, v)\,</math>。

找出一條等式適合<math>\partial x/\partial u</math>是克萊姆法則的簡單應用。

首先，我們要計算<math>F</math>、<math>G</math>、<math>x</math>和<math>y</math>的導數：
:<math>dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{\partial y} dy +\frac{\partial F}{\partial u} du +\frac{\partial F}{\partial v} dv = 0</math>
:<math>dG = \frac{\partial G}{\partial x} dx + \frac{\partial G}{\partial y} dy +\frac{\partial G}{\partial u} du +\frac{\partial G}{\partial v} dv = 0</math>
:<math>dx = \frac{\partial X}{\partial u} du + \frac{\partial X}{\partial v} dv</math>
:<math>dy = \frac{\partial Y}{\partial u} du + \frac{\partial Y}{\partial v} dv</math>

將<math>dx</math>和<math>dy</math>代入<math>dF</math>和<math>dG</math>，可得出：
:<math>dF = \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial v} \right) dv = 0</math>
:<math>dG = \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial v} \right) dv = 0</math>

因為<math>u</math>和<math>v</math>互不相关，所以<math>du</math>和<math>dv</math>的系數都要等於0。所以等式中的系數可以被寫成：
:<math>\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial F}{\partial u}</math>
:<math>\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial G}{\partial u}</math>
:<math>\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial F}{\partial v}</math>
:<math>\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial G}{\partial v}</math>

現在用克萊姆法則就可得到：
:<math>
\cfrac{\partial x}{\partial u} = \cfrac{\begin{vmatrix} -\cfrac{\partial F}{\partial u} & \cfrac{\partial F}{\partial y} \\ -\cfrac{\partial G}{\partial u} & \cfrac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\cfrac{\partial F}{\partial x} & \cfrac{\partial F}{\partial y} \\ \cfrac{\partial G}{\partial x} & \cfrac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}
</math>

用兩個[[雅可比矩陣]]來表示的方程：
:<math>\cfrac{\partial x}{\partial u} = - \cfrac{\left(\cfrac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(y, u\right)}\right)}{\left(\cfrac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(x, y\right)}\right)}</math>

用類似的方法就可以找到<math>\frac{\partial x}{\partial v}</math>、<math>\frac{\partial y}{\partial u}</math>以及<math>\frac{\partial y}{\partial v}</math>。

=== 基本代數上的應用 ===
克萊姆法則可以用來證明一些線性代數中的定理，當中的定理對[[環理論]]十分有用。

=== 線性規劃上的應用 ===
克萊姆法則可以用來證明一個[[線性規劃]]問題有一個基本[[整數]]的解。這樣使得線性規劃的問題更容易被解決。

== 缺点 ==
克莱姆法则在电子计算机出现后，被认为是难以实际用于计算的。当使用克莱姆法则计算一个<math>n</math>阶线性方程组时，所需乘法次数为<math>(n+1)!</math> 次。例如求解25阶线性方程组时，总计乘法次数需要<math>26!</math>（即4.03×10<sup>26</sup>）次，若计算机每秒能计算100亿次，所需时间约12.79亿年。相比之下，[[高斯消元法]]只需3060次乘法，对计算机而言易如反掌。<ref name="ZhangHW">{{cite book |editor=张宏伟，金光日，施吉林，董波 |title=计算机科学计算 |date=2005 |publisher=高等教育出版社 |location=北京 |isbn=9787040365955 |page=3 |edition=2013年第2版}}</ref>

== 參考文獻 ==
{{reflist}}
<math></math>

== 外部链接 ==
* [https://web.archive.org/web/20170421111458/http://www.algebrasolver.totalh.com/ Online calculator to solve a system of ecuations using the Cramer's Rule]
* [https://web.archive.org/web/20100317105012/http://math.cowpi.com/systemsolver/ Systems Solver]

{{线性代数的相关概念}}
[[Category:線性代數|K]]
[[Category:代数定理|K]]
[[Category:矩阵分解]]
[[Category:行列式计算]]