查看“︁克罗内克积”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}
{{线性代数}}
数学上，'''克罗内克积'''（{{lang-en|Kronecker product}}）是两个任意大小的矩阵间的运算，表示为⊗。简单地说，就是将前一个矩阵的每个元素乘上后一个完整的矩阵。克罗内克积是[[外积]]从向量到矩阵的推广，也是[[张量积]]在标准基下的矩阵表示。

尽管没有明显证据证明德国数学家[[利奥波德·克罗内克]]是第一个定义并使用这一运算的人，克罗内克积还是以其名字命名。在历史上，克罗内克积曾以約翰·格奧爾格·澤哈斯（Johann Georg Zehfuss）名字命名为澤哈斯矩阵。

== 定义 ==

如果''A''是一个 ''m'' × ''n'' 的矩阵，而''B''是一个 ''p'' × ''q'' 的矩阵，克罗内克积<math>A \otimes B</math>则是一个 ''mp'' × ''nq'' 的[[分块矩阵]]
:<math> A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{bmatrix}. </math>
更具体地可表示为
:<math> A \otimes B = \begin{bmatrix}
   a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1q} \\
   a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2q} \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pq} & 
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pq} \\
   \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
   \vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
   a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1q} \\
   a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2q} \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pq} & 
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pq} 
\end{bmatrix}. </math>

我们可以更紧凑地写为
<math>
(A\otimes B)_{p(r-1)+v, q(s-1)+w} = a_{rs} b_{vw}
</math>

=== 例子 ===

:<math>
  \begin{bmatrix} 
    1 & 2 \\ 
    3 & 1 \\ 
  \end{bmatrix}
\otimes
  \begin{bmatrix} 
    0 & 3 \\ 
    2 & 1 \\ 
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix} 
    1\cdot 0 & 1\cdot 3 & 2\cdot 0 & 2\cdot 3 \\ 
    1\cdot 2 & 1\cdot 1 & 2\cdot 2 & 2\cdot 1 \\ 
    3\cdot 0 & 3\cdot 3 & 1\cdot 0 & 1\cdot 3 \\ 
    3\cdot 2 & 3\cdot 1 & 1\cdot 2 & 1\cdot 1 \\ 
  \end{bmatrix}

=
  \begin{bmatrix} 
    0 & 3 & 0 & 6 \\ 
    2 & 1 & 4 & 2 \\
    0 & 9 & 0 & 3 \\
    6 & 3 & 2 & 1
  \end{bmatrix}
</math>.

== 特性 ==
=== 双线性和结合律 ===

克罗内克积是[[张量积]]的特殊形式，因此满足[[双线性映射|双线性]]与[[结合律]]：
:<math> A \otimes (B+C) = A \otimes B + A \otimes C \qquad \mbox{(if } B \mbox{ and } C \mbox{ have the same size)}, </math>
:<math> (A+B) \otimes C = A \otimes C + B \otimes C \qquad \mbox{(if } A \mbox{ and } B \mbox{ have the same size)}, </math>
:<math> (kA) \otimes B = A \otimes (kB) = k(A \otimes B), </math>
:<math> (A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C), </math>
其中，''A'', ''B'' 和 ''C'' 是矩阵，而 ''k'' 是常量。

克罗内克积不符合[[交换律]]：通常，''A'' ⊗ ''B'' 不同于 ''B'' ⊗ ''A''。 

''A'' ⊗ ''B''和''B'' ⊗ ''A''是排列等价的，也就是说，存在[[排列矩阵]]''P''和''Q''，使得
:<math> A \otimes B = P \, (B \otimes A) \, Q. </math>
如果''A''和''B''是方块矩阵，则''A'' ⊗ ''B''和''B'' ⊗ ''A''甚至是排列[[相似矩阵|相似]]的，也就是说，我们可以取''P'' = ''Q''<sup>T</sup>。

=== 混合乘积性质 ===

如果'''A'''、'''B'''、'''C'''和'''D'''是四个矩阵，且矩阵乘积'''AC'''和'''BD'''存在，那么：
:<math> (\mathbf{A} \otimes \mathbf{B})(\mathbf{C} \otimes \mathbf{D}) = \mathbf{AC} \otimes \mathbf{BD}. </math>
这个性质称为“混合乘积性质”，因为它混合了通常的矩阵乘积和克罗内克积。于是可以推出，'''A''' <math>\,\otimes\,</math> '''B'''是[[可逆矩阵|可逆]]的[[当且仅当]]'''A'''和'''B'''是可逆的，其逆矩阵为：
:<math> (\mathbf{A} \otimes \mathbf{B})^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \otimes \mathbf{B}^{-1}. </math>

=== 克罗内克和 ===

如果'''A'''是''n'' × ''n''矩阵，'''B'''是''m'' × ''m''矩阵，<math>\mathbf{I}_k</math>表示''k'' × ''k''单位矩阵，那么我们可以定义克罗内克和<math>\oplus</math>为：
:<math> \mathbf{A} \oplus \mathbf{B} = \mathbf{A} \otimes \mathbf{I}_m + \mathbf{I}_n \otimes \mathbf{B}. </math>

=== 谱 ===

假设'''A'''和'''B'''分别是大小为''n''和''q''的方块矩阵。设λ<sub>1</sub>，……，λ<sub>''n''</sub>为'''A'''的[[特征值]]，μ<sub>1</sub>，……，μ<sub>''q''</sub>为'''B'''的特征值。那么'''A''' <math>\,\otimes\,</math> '''B'''的特征值为：
:<math> \lambda_i \mu_j, \qquad i=1,\ldots,n ,\, j=1,\ldots,q. </math>
于是可以推出，两个矩阵的克罗内克积的[[迹]]和[[行列式]]为：
:<math> \operatorname{tr}(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}) = \operatorname{tr} \mathbf{A} \, \operatorname{tr} \mathbf{B} \quad\mbox{and}\quad \det(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}) = (\det \mathbf{A})^q (\det \mathbf{B})^n. </math>

=== 奇异值 ===

如果'''A'''和'''B'''是长方矩阵，那么我们可以考虑它们的[[奇异值分解|奇异值]]。假设'''A'''有''r''<sub>'''A'''</sub>个非零的奇异值，它们是：
:<math> \sigma_{\mathbf{A},i}, \qquad i = 1, \ldots, r_\mathbf{A}. </math>
类似地，设'''B'''的非零奇异值为：
:<math> \sigma_{\mathbf{B},i}, \qquad i = 1, \ldots, r_\mathbf{B}. </math>
那么克罗内克积'''A''' <math>\,\otimes\,</math> '''B'''有''r''<sub>'''A'''</sub>''r''<sub>'''B'''</sub>个非零奇异值，它们是：
:<math> \sigma_{\mathbf{A},i} \sigma_{\mathbf{B},j}, \qquad i=1,\ldots,r_\mathbf{A} ,\, j=1,\ldots,r_\mathbf{B}. </math>
由于一个[[矩阵的秩]]等于非零奇异值的数目，因此我们有：
:<math> \operatorname{rank}(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}) = \operatorname{rank} \mathbf{A} \, \operatorname{rank} \mathbf{B}. </math>

=== 与抽象张量积的关系 ===

矩阵的克罗内克积对应于线性映射的抽象张量积。特别地，如果向量空间''V''、''W''、''X''和''Y''分别具有基{v<sub>1</sub>, ... , v<sub>m</sub>}、 {w<sub>1</sub>, ... , w<sub>n</sub>}、{x<sub>1</sub>, ... , x<sub>d</sub>}和{y<sub>1</sub>, ... , y<sub>e</sub>}，且矩阵''A''和''B''分别在恰当的基中表示线性变换''S'' : ''V'' → ''X''和''T'' : ''W'' → ''Y''，那么矩阵''A'' &otimes; ''B''表示两个映射的张量积''S'' &otimes; ''T'' : ''V'' &otimes; ''W'' → ''X'' &otimes; ''Y''，关于''V'' &otimes; ''W''的基{v<sub>1</sub> &otimes; w<sub>1</sub>, v<sub>1</sub> &otimes; w<sub>2</sub>, ... , v<sub>2</sub> &otimes; w<sub>1</sub>, ... , v<sub>m</sub> &otimes; w<sub>n</sub>}和''X'' &otimes; ''Y''的类似基。<ref>Pages 401–402 of {{Citation
| last=Dummit
| first=David S.
| last2=Foote
| first2=Richard M.
| title=Abstract Algebra
| edition=2
| year=1999
| publisher=John Wiley and Sons, Inc.
| place=New York
| isbn=0-471-36857-1
}}</ref>

=== 与图的乘积的关系 ===

两个[[图 (数学)|图]]的[[邻接矩阵]]的克罗内克积是它们的[[图的张量积|张量积图]]的邻接矩阵。两个图的邻接矩阵的克罗内克和，则是它们的[[图的笛卡儿积|笛卡儿积图]]的邻接矩阵。参见<ref name="TAOCP0a">D. E. Knuth: ''
[http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/fasc0a.ps.gz "Pre-Fascicle 0a: Introduction to Combinatorial Algorithms"] {{Wayback|url=http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/fasc0a.ps.gz |date=20190513215832 }}, zeroth printing (revision 2), to appear as part of D.E. Knuth: ''The Art of Computer Programming Vol. 4A''</ref>第96个练习的答案。

=== 转置 ===

克罗内克积转置运算符合分配律：
:<math>(A\otimes B)^T = A^T \otimes B^T.</math>

== 矩阵方程 ==

克罗内克积可以用来为一些矩阵方程得出方便的表示法。例如，考虑方程''AXB'' = ''C''，其中''A''、''B''和''C''是给定的矩阵，''X''是未知的矩阵。我们可以把这个方程重写为
:<math> (B^{T} \otimes A) \, \operatorname{vec}(X) = \operatorname{vec}(AXB) = \operatorname{vec}(C). </math>
这样，从克罗内克积的性质可以推出，方程''AXB'' = ''C''具有唯一的解，当且仅当''A''和''B''是非奇异矩阵。{{harv|Horn|Johnson|1991|loc=Lemma 4.3.1}}.

在这里，vec(''X'')表示矩阵''X''的[[向量化]]，它是把''X''的所有列堆起来所形成的[[列向量]]。

如果把''X''的行堆起来，形成列向量''x''，则<math> AXB </math>也可以写为<math> (A \otimes B^{T})x </math> {{harv|Jain|1989|loc=2.8 block Matrices and Kronecker Products}}。

== 參考文獻 ==

<references/>
* {{citation | first1=Roger A. | last1=Horn | first2=Charles R. | last2=Johnson | year=1991 | title=Topics in Matrix Analysis | publisher=Cambridge University Press | isbn=0-521-46713-6 }}.

*{{citation | first1=Anil K. | last1=Jain | year = 1989 | title=Fundamentals of Digital Image Processing | publisher= Prentice Hall | isbn=0-13-336165-9}}.

== 外部链接 ==

* {{planetmath reference|id=4163|title=Kronecker product|urlname=kroneckerproduct}}
* [http://mathworld.wolfram.com/MatrixDirectProduct.html MathWorld Matrix Direct Product] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/MatrixDirectProduct.html |date=20190511213949 }}

[[Category:矩阵论]]
[[Category:二元运算]]