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{{Distinguish2|[[狄拉克δ函数]]，也不是[[克罗内克符号]]}}

在数学中，'''克罗内克函数'''（又称克罗内克δ函数、克罗内克δ）<math>\delta_{ij}\,\!</math> 是一个[[函數#多元函數|二元函数]]，得名于德国数学家[[利奥波德·克罗内克]]。克罗内克函数的自变量（输入值）一般是两个[[整数]]，如果两者相等，则其输出值为1，否则为0。
:<math>\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 
1 & (i=j)  \\ 
0 & (i \ne j) \end{matrix}\right.\,\!</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

克罗内克函数的值一般简写为 <math>\delta_{ij}\,\!</math> 。

克罗内克函数和[[狄拉克δ函数]]都使用δ作为符号，但是克罗内克δ用的时候带两个下标，而狄拉克δ函数则只有一个变量。

==其它记法==
另一种标记方法是使用[[艾佛森括号]]（得名于[[肯尼斯·艾佛森]]）：
: <math>\delta_{ij} = [i=j ]\,\!</math> 。

同时，当一个变量为0时，常常会被略去，记号变为 <math>\delta_i\,\!</math> ：
:<math>\delta_{i} = \left\{\begin{matrix} 
1, & \mbox{if } i=0  \\ 
0, & \mbox{if } i \ne 0 \end{matrix}\right.\,\!</math>  <span style="vertical-align:bottom">。</span>

在[[线性代数]]中，克罗内克函数可以被看做一个[[张量]]，写作 <math>\delta^i_j\,\!</math> 。

==数字信号处理==
[[File:unit impulse.gif|thumb|right|冲激函数]]
类似的，在[[数字信号处理]]中，与克罗内克函数等价的概念是变量为 <math>\mathbb{Z}\,\!</math> ([[整数]])的函数：

<math>\delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0\end{cases}\,\!</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

这个函数代表着一个''冲激''或''单位冲激''。当一个数字处理单元的输入为单位冲激时，输出的函数被称为此单元的[[冲激响应]]。

==性质==
克罗内克函数有筛选性：对任意 <math>j\in\mathbb Z\,\!</math> ： 
:<math>\sum_{i= - \infty}^\infty \delta_{ij} a_i=a_j\,\!</math> 。
如果将整数看做一个装备了[[计数测度]]的[[测度空间]]，那么这个性质和[[狄拉克δ函数]]的定义是一样的：
:<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x-y)f(x) dx=f(y)\,\!</math> 。

实际上，狄拉克δ函数是根据克罗内克函数而得名的。在信号处理中，两者是同一个概念在不同的上下文中的表现。一般设定 <math>\delta(t)\,\,\!</math> 为连续的情况（狄拉克函数） ，而使用''i'', ''j'', ''k'', ''l'', ''m'', and ''n'' 等变量一般是在 离散的情况下（克罗内克函数）。

===线性代数中的应用===
在[[线性代数]]中，[[单位矩阵]]可以写作 <math>(\delta_{ij})_{i,j=1}^n\,\!</math> 。 

在看做是[[张量]]时（克罗内克张量），可以写作 <math>\delta^i_j\,\!</math> 。

这个(1,1)向量表示:
* 作为[[线性映射]]的单位矩阵。
* [[迹数]]。
* [[内积]] <math>V^* \otimes V \to K\,\!</math> 。
* 映射 <math>K \to V^* \otimes V\,\!</math> ，将数量乘积表示为[[外积]]的形式。

==廣義克羅內克函數==
定義'''廣義克羅內克函數'''為 <math>n\times n\,\!</math> 矩陣的[[行列式]]，以方程式表達為<ref>{{Citation
  | last = Heinbockel
  | first = J. H.
  | title = Introduction to Tensor Calculus and Continum Mechanics
  | place = Victoria, B.C. Canada
  | publisher = Trafford Publishing
  | year = 2001
  | pages = pp. 14, 31
  | url = http://www.math.odu.edu/~jhh/counter2.html
  | isbn = 1-55369-133-4
  | access-date = 2010-04-25
  | archive-url = https://web.archive.org/web/20200106103811/http://www.math.odu.edu/~jhh/counter2.html
  | archive-date = 2020-01-06
  | dead-url = yes
  }}</ref>
:<math>\delta^{j_1 j_2 \dots j_n}_{i_1 i_2 \dots i_n} = 
\begin{bmatrix}
  \delta^{j_1}_{i_1} \delta^{j_1}_{i_2}     & \cdots & \delta^{j_1}_{i_n}      \\
  \delta^{j_2}_{i_1} \delta^{j_2}_{i_2}     & \cdots & \delta^{j_2}_{i_n}      \\
  \vdots & \ddots & \vdots \\ 
  \delta^{j_n}_{i_1} \delta^{j_n}_{i_2}     & \cdots & \delta^{j_n}_{i_n}      \\
\end{bmatrix}\,\!</math>  <span style="vertical-align:bottom">；</span>

其中，<math>\delta^{i}_{j}\,\!</math> 是個[[張量]]函數，定義為 <math>\delta^{i}_{j}\ \stackrel{def}{=}\ \delta_{ij}\,\!</math> 。

以下列出涉及廣義克羅內克函數的一些[[恆等式]]：
*<math>\delta^{ijk}_{imn} =\delta^{jk}_{mn}=\delta^{j}_{m}\delta^{k}_{n} - \delta^{j}_{n}\delta^{k}_{m}\,\!</math> 。
*<math>\delta^{ijk}_{ijm} =2\delta^{k}_{m}\,\!</math> 。
*<math>\delta^{ijk}_{ijk} =6\,\!</math> 。
*<math>\delta^{ijk}_{lmn} =\epsilon^{ijk}\epsilon_{lmn}\,\!</math> ； 

:其中，<math>\epsilon^{ijk}\,\!</math> 和 <math>\epsilon_{lmn}\,\!</math> 是[[列維-奇維塔符號]]。
*<math>\delta^{j_1 j_2 \dots j_n}_{i_1 i_2 \dots i_n} =\epsilon^{j_1 j_2 \dots j_n}\epsilon_{i_1 i_2 \dots i_n}\,\!</math> 。
*<math>\delta^{1 2 \dots n}_{i_1 i_2 \dots i_n} =\epsilon_{i_1 i_2 \dots i_n}\,\!</math> 。
*<math>\delta^{j_1 j_2 \dots j_n}_{i_1 i_2 \dots i_n} T_{j_1 j_2 \dots j_n}=n!\ T_{i_1 i_2 \dots i_n}\,\!</math> ；

其中，<math>T_{j_1 j_2 \dots j_n}\,\!</math> 是 <math>n\,\!</math> 階張量。

==积分表示==
对任意的整数 <math>n\,\!</math> ，运用标准的[[留数]]计算，可以将克罗内克函数表示成积分的形式：
:<math>  \delta_{x,n} = \frac1{2\pi i} \oint z^{x-n-1} dz\,\!</math> ；

其中积分的路径是围绕零点逆时针进行。

这个表示方式与下面的另一形式等价：
:<math>  \delta_{x,n} = \frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{i(x-n)\varphi} d\varphi\,\!</math> 。

==参见==
*[[列維-奇維塔符號]]
*{{le|狄拉克测度|Dirac measure}}
*[[同或门]]

==參考文獻==
<references />

{{DEFAULTSORT:K}} 
[[Category:数学符号]]
[[Category:函数]]