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{{noteTA
|T=zh-cn:克喇末-克勒尼希关系
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'''克喇末-克勒尼希關係式'''（{{lang-en|'''Kramers–Kronig relations'''}}）是[[數學]]上連結複面上半[[解析函數|可析函數]]實部和虚部的公式。此關係式常用於物理系統的線性反應函數。物理上[[因果系統|因果關係]]（系統反應必須在施力之後）意味着反應函數必須符合複面上半的可析性。反之，反應函數的可析性意味着相應物理系統的因果性。此關係式以[[拉尔夫·克勒尼希]]和[[汉斯·克喇末]]為名。

==公式定義==
給定一複數變數<math>\omega</math>的複值函數<math>{\chi(\omega)} = \chi_1(\omega) + i \chi_2(\omega)</math>，其中<math>\chi_1</math>和<math>\chi_2</math>是實值函數。假設此函數<math>\chi(\omega)</math>在[[上半平面|複數平面上半部]]可析，且當<math>|\omega|</math>趨向無限大时，它在上半平面趋于零的速度比<math>1/|\omega|</math>快或與之相等，那么<math>\chi(\omega)</math>满足以下關係：
:<math>\chi_1(\omega) = {1 \over \pi} \mathcal{P}\!\!\!\int \limits_{-\infty}^{\infty} {\chi_2(\omega') \over \omega' - \omega}\,d\omega'</math>
和
:<math>\chi_2(\omega) = -{1 \over \pi} \mathcal{P}\!\!\!\int \limits_{-\infty}^{\infty} {\chi_1(\omega') \over \omega' - \omega}\,d\omega',</math>
其中<math>\mathcal{P}</math>表示[[柯西主值]]。因此可析函數的實部和虚部并不獨立：函數的一部分可以重建整個函數。

==推導==
推導克喇末-克勒尼希關係式是[[留數定理]]的基本應用。對任何複面上半可析函數<math>\chi(\omega^\prime)</math>和實數<math>\omega</math>函數<math>\frac{\chi(\omega^\prime)}{\omega^\prime - \omega}</math>在複面上半可析。留數定理得到對任何在複面上半的積分路徑：[[Image:Contour of KKR.svg|thumb|200px|克拉默斯-克朗尼希關係的積分路徑。]] 
:<math>\oint \frac{\chi(\omega^\prime)}{\omega^\prime - \omega} d\omega^\prime = 0</math>
選用實軸上的路徑、跳過任何實軸上[[极点 (代数)|極點]]、再以複面上半圓完成。把積分分解成三部分。其中半圓部分長度和<math>|\omega|</math>成正比，因此只要<math>\chi(\omega^\prime)</math>消失比<math>{1}/{\omega^\prime}</math>快，對半圓部分積分趨向零。因此積分只剩實軸上直線部和跳過極點的小半圓：
:<math>\oint {\chi(\omega') \over \omega'-\omega}\,d\omega' = \mathcal{P} \!\!\!\int \limits_{-\infty}^\infty {\chi(\omega') \over \omega'-\omega}\,d\omega' - i \pi \chi(\omega) = 0.</math>
以上第二項留數定理<ref>{{cite book|title=Mathematical Methods for Physicists|url=https://archive.org/details/mathematicalmeth00arfk|author= G. Arfken |publisher=Academic Press|location= Orlando |year=1985|isbn=0120598779}}</ref>的結果。重組後得到克喇末-克勒尼希關係式：
:<math>\chi(\omega) = {1 \over i \pi} \mathcal{P} \!\!\!\int \limits_{-\infty}^\infty {\chi(\omega') \over \omega'-\omega}\,d\omega'. </math>
分母裡的虚數<math>i</math>意味者這是連系實部和虚部的公式。把<math>\chi(\omega)</math>分解成實部和虚部可輕易得到更早的公式。

==物理理解==
可以将Kramers-Kronig关系应用于响应函数理论。物理上，响应函数<math>\chi(t - t^\prime)</math>概括系統對在時間<math>t^\prime</math>的作用力<math>F(t^\prime)</math>在另一時間<math>t</math>的反應<math>P(t)</math>：
:<math>P(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \chi(t - t^\prime) F(t^\prime) dt^\prime</math>
因為系統不能在施力前有任何反應因此當<math>t^\prime > t</math>，<math>\chi(t - t^\prime) = 0</math>。
可以證明這因果關係意味着<math>\chi(\tau)</math>的[[傅立葉變換]]<math>\chi(\omega)</math>在<math>\omega</math>複面上半可析。另外如果我們施加系統一個遠高於它最高共振頻率的高頻作用力，此時作用力轉换太快而系統不能即時做出反應，因此<math>\omega</math>很大時，<math>\chi(\omega)</math>會趨近於0。從這些物理考量，可知物理反應函數<math>\chi(\omega)</math>通常符合克喇末-克勒尼希關係式的前提條件。

反應函數<math>\chi(\omega)</math>的虚部和作用力異相。它概括系統如何消散能量。因此利用克喇末-克勒尼希關係，我們可以透過觀察系統能量消耗而得到它對作用力的同相（不做功）反應，反之亦然。

上述函数的积分路径是从<math>-\infty</math>到<math>\infty</math>，其中出现了负频率。幸运的是，多数系统中，正频响应决定了负频响应，这是因为<math>\chi(\omega)</math>是实数变量<math>\chi(t-t')</math>的傅里叶变换，根据对实数进行傅里叶变换的性质，<math>\chi(-\omega)=\chi^*(\omega)</math>，<math>\chi_1(\omega)</math>是频率<math>\omega</math>的偶函数，而<math>\chi_2(\omega)</math>是<math>\omega</math>的奇函数。

根据该性质，积分可以从正负无穷区间约化为<math>[0,\infty)</math>的区间上。考虑实部<math>\chi_1(\omega)</math>的第一个关系，积分函数上下同乘<math>\omega'+\omega</math>可得：

:<math>
\chi_1(\omega)=\frac{1}{\pi}\mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\omega'\chi_2(\omega')}{\omega'^2-\omega^2}d\omega' + \frac{\omega}{\pi} \mathcal{P}\mathcal\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\chi_2(\omega')}{\omega'^2-\omega^2}d\omega'.
</math>

由于<math>\chi_2(\omega)</math>为奇函数，第二项为零，剩下的部分为

:<math>
\chi_1(\omega)=\frac{2}{\pi}\mathcal{P}\int_{0}^{\infty}\frac{\omega'\chi_2(\omega')}{\omega'^2-\omega^2}d\omega'.
</math>

类似的推导亦可用于虚部：

:<math>
\chi_2(\omega)=-\frac{2}{\pi}\mathcal{P}\int_0^{\infty}\frac{\omega\chi_1(\omega')}{\omega'^2-\omega^2}d\omega' = -\frac{2\omega}{\pi}\mathcal{P}\int_0^\infty\frac{\chi_1(\omega')}{\omega'^2-\omega^2}d\omega'.
</math>

该 Kramers-Kronig 关系在物理响应函数上的很有用处。

==參考文献==
{{reflist}}
[[Category:复分析]]