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[[File:Jaynes-Cummings model.png|thumb|傑恩斯-卡明斯模型。圓圈內展示了[[光子]]的[[發射]]與[[吸收]]]]

'''傑恩斯-卡明斯模型'''（Jaynes–Cummings model (JCM)）是一個[[量子光學]]的理论模型。 這是一個描述[[雙態系統]]和量化[[光腔]](optical cavity)交互作用的模型，這種交互作用和光子的存在與否無關(在电磁辐射能造成光子自發性的[[放射]]與[[吸收]])。它主要被運用在[[原子物理學]]、量子光學、固態量子信息電路的理論與實驗上。

== 公式 ==

系统哈密頓量

:<math>\hat{H} = \hat{H}_{\text{field}} +\hat{H}_{\text{atom}} +\hat{H}_{\text{int}}</math>

由自由場哈密頓量，原子激發態哈密頓量，JCM哈密頓量組成：
:<math>
\begin{array}{lcl}
\hat{H}_\text{field} &=& \hbar \omega_c \hat{a}^{\dagger}\hat{a}\\
\hat{H}_\text{atom} &=& \hbar \omega_a \frac{\hat{\sigma}_z}{2}\\
\hat{H}_\text{int} &=& \frac{\hbar \Omega}{2} \hat{E} \hat{S}.
\end{array}
</math>

為方便起見，设真空場能量為 <math>0</math>.

其中：
* <math>\begin{smallmatrix}\hat{E} = \hat{a} +\hat{a}^{\dagger}\end{smallmatrix}</math>[[場運算符]]，目的是把量化[[輻射場]]转化為[[玻色子]]的模型，另外[[雙態原子]]是能被三維[[布洛赫球面]]所描述的[[半自旋]]粒子
** <math>\begin{smallmatrix}\hat{a}^{\dagger}\end{smallmatrix}</math>是玻色子的[[創生及湮滅算符|創生算符]]
** <math>\begin{smallmatrix}\hat{a}\end{smallmatrix} </math> 是玻色子的[[創生及湮滅算符|湮滅算符]]

* <math>\begin{smallmatrix}\hat{S} = \hat{\sigma}_+ +\hat{\sigma}_-\end{smallmatrix}</math>是原子耦合區的[[偏振]]運算符
* <math>\begin{smallmatrix}\hat{\sigma}_+ = |e \rangle \langle g |\end{smallmatrix}</math>與<math>\begin{smallmatrix}\hat{\sigma}_- = |g \rangle \langle e |\end{smallmatrix}</math> 是原子的[[階梯算符]]
* <math>\begin{smallmatrix}\hat{\sigma}_z = |e \rangle \langle e | - |g \rangle \langle g |\end{smallmatrix}</math> 是原子[[反轉運算]]符
* <math>\begin{smallmatrix}\omega_a\end{smallmatrix}</math>是原子的躍遷頻率
* <math>\begin{smallmatrix}\omega_c\end{smallmatrix}</math> 是模型的角頻率

=== JCM哈密頓量 ===

通過把[[薛丁格繪景]]轉換為[[相互作用繪景]](又名旋轉框架(rotating frame)) ，使得<math>\begin{smallmatrix}H_0 = \hat{H}_{\text{field}} +\hat{H}_{\text{atom}}\end{smallmatrix}</math>，可以得到：

:<math>\hat{H}_\text{int}(t) = \frac{\hbar \Omega}{2} \left(\hat{a}\hat{\sigma}_{-} e^{-i(\omega_c+\omega_a)t}
+\hat{a}^{\dagger}\hat{\sigma}_{+}e^{i(\omega_c+\omega_a)t}
+\hat{a}\hat{\sigma}_{+}e^{i (-\omega_c+\omega_a) t}
+\hat{a}^{\dagger}\hat{\sigma}_{-}e^{-i (-\omega_c+\omega_a) t}\right).</math>

這個哈密頓量同時包含了兩個部分：
* <math>\begin{smallmatrix}(\omega_c + \omega_a)\end{smallmatrix}</math> 是快速震蕩，
* <math>\begin{smallmatrix}(\omega_c - \omega_a)\end{smallmatrix}</math> 是慢速震蕩。
為了求解這個方程，簡化模型是再所難免的。注意到，當 <math>\begin{smallmatrix}|\omega_c - \omega_a| \ll \omega_c+\omega_a\end{smallmatrix}</math>
的時候，快速振盪的 “反向旋轉”項（也就是快速震蕩項）可被忽略，這被稱為[[旋波近似]]。再將之轉換回薛丁格繪景，JCM哈密頓量就變成了：

:<math>\hat{H}_{\text{JC}} = \hbar \omega_c \hat{a}^{\dagger}\hat{a}
+\hbar \omega_a \frac{\hat{\sigma}_z}{2}
+\frac{\hbar \Omega}{2} \left(\hat{a}\hat{\sigma}_+
+\hat{a}^{\dagger}\hat{\sigma}_-\right).</math>

其中，
* <math>\begin{smallmatrix}\hbar \Omega/2 = d (\omega_a/\hbar V \epsilon_0)^{1/2}\end{smallmatrix}</math>是原子場的耦合常數，
* <math>\begin{smallmatrix}d\end{smallmatrix}</math>是原子躍遷時刻，
* <math>\begin{smallmatrix}V\end{smallmatrix}</math>是腔模的體積。

=== 本徵態 ===

一般情況下，將哈密頓量拆分為2部分有助於對其進行求解:

:<math>\hat{H}_\text{JC} = \hat{H}_I +\hat{H}_{II},</math>

其中，<blockquote><math>
\begin{array}{lcl}
\hat{H}_{I}  &=& \hbar \omega_c \left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a} +\frac{\hat{\sigma}_z}{2}\right)\\
\hat{H}_{II} &=& \hbar \delta \frac{\hat{\sigma}_z}{2}
+\frac{\hbar \Omega}{2} \left(\hat{a}\hat{\sigma}_+
+\hat{a}^{\dagger}\hat{\sigma}_-\right)
\end{array}
</math></blockquote><blockquote><math>\begin{smallmatrix}\delta = \omega_a - \omega_c\end{smallmatrix}</math> 稱之為場與雙態系統的失諧量（頻率）。</blockquote>為了更好地求解哈密頓量，把<math>\begin{smallmatrix}\begin{smallmatrix}\hat{H}_{I}\end{smallmatrix}\end{smallmatrix}</math>的[[本徵態]]轉換成[[張量積]] <math>\begin{smallmatrix}|n,g\rangle, |n,e\rangle\end{smallmatrix}</math>（<math>\begin{smallmatrix}n \in \mathbb{N}\end{smallmatrix}</math>，表示模型中輻射量子的數量。）

對位任意正整數n，狀態<math>\begin{smallmatrix}|\psi_{1n}\rangle := |n,e\rangle\end{smallmatrix}</math> 與狀態<math>\begin{smallmatrix}|\psi_{2n}\rangle := |n+1,g\rangle\end{smallmatrix}</math>
會退化為<math>\begin{smallmatrix}\hat{H}_{I}\end{smallmatrix}</math> ，<math>\begin{smallmatrix}\hat{H}_{\text{JC}}\end{smallmatrix}</math> 足以在子空間<math>\begin{smallmatrix}\text{span} \{ |\psi_{1n}\rangle ,|\psi_{2n}\rangle\}\end{smallmatrix}</math>對角化。 <math>\begin{smallmatrix}\hat{H}_{\text{JC}}\end{smallmatrix}</math>的元素屬於<math>\begin{smallmatrix}{H}^{(n)}_{ij} := \langle\psi_{in}|\hat{H}_{\text{JC}}|\psi_{jn}\rangle\end{smallmatrix}</math>的子空間，表示為：

:<math>H^{(n)} = \hbar
\begin{pmatrix}
n \omega_c +\frac{\omega_a}{2} & \frac{\Omega}{2} \sqrt{n+1} \\[8pt]
\frac{\Omega}{2} \sqrt{n+1} & (n+1)\omega_c -\frac{\omega_a}{2}
\end{pmatrix}
</math>

對於任意正整數n，能量本徵態<math display="inline">\begin{smallmatrix}H^{(n)}\end{smallmatrix}</math>為：

:<math>E_{\pm}(n) = \hbar\omega_c \left(n+\frac{1}{2}\right) \pm \frac{1}{2} \hbar\Omega_n(\delta),</math>

其中，<math>\begin{smallmatrix}\Omega_n(\delta) = \sqrt{\delta^2 +\Omega^2(n+1)}\end{smallmatrix}</math> 是[[拉比頻率]]特殊的[[失諧]]參數。

含能量本徵態 <math>\begin{smallmatrix}|n,\pm\rangle~\end{smallmatrix}</math>的[[特徵值]]是：

:<math>|n,+\rangle= \cos \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|\psi_{1n}\rangle+\sin \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|\psi_{2n}\rangle</math>
:<math>|n,-\rangle= -\sin \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|\psi_{1n}\rangle+\cos \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|\psi_{2n}\rangle</math>

其中，<math>\begin{smallmatrix}\angle\alpha_n = \tan^{-1}\left(\frac{\Omega \sqrt{n+1}}{\delta}\right)\end{smallmatrix}</math>

=== 薛丁格繪景動量 ===

為了得到動量的一般情況。 首先考慮一個場疊加態的初態 <math>\begin{smallmatrix}~|\psi_\text{field}(0)\rangle=\sum_n{C_n|n\rangle}~\end{smallmatrix}</math>，若置一激發態原子于場內，則系統初態為：

:<math>|\psi_\text{tot}(0)\rangle= \sum_n C_n \left[ \cos \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|n,+\rangle-\sin \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|n,-\rangle\right].</math>

其中 <math>\begin{smallmatrix}~|n,\pm\rangle~\end{smallmatrix}</math> 是該系統的定態, 含時狀態向量是：

:<math>|\psi_\text{tot}(t)\rangle = e^{-i\hat{H}_{\text{JC}}t/\hbar}|\psi_\text{tot}(0)\rangle = \sum_n C_n \left[ \cos \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|n,+\rangle e^{-iE_+(n)t/\hbar}- \sin \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|n,-\rangle e^{-iE_-(n)t/\hbar}\right] , t > 0</math>
<!-- The Rabi oscillations can readily be seen in the sin and cos functions in the state vector. Different periods occur for different number states of photons.

What is observed in experiment is the sum of many periodic functions that can be very widely oscillating and destructively sum to zero at some moment of time, but will be non-zero again at later moments. Finiteness of this moment results just from discreteness of the periodicity arguments. If the field amplitude were continuous, the revival would have never happened at finite time. -->

=== 相互作用繪景動量 ===

可以直接通過[[海森堡模型|海森堡]]記法（Heisenberg notation）來確定么正演化算符<!-- 不確定是不是這麼翻譯 找不到正確的翻譯法 -->（unitary evolution operator） :<ref>[[Stig Stenholm|S. Stenholm]], "Quantum theory of electromagnetic fields interacting with atoms and molecules", ''Physics Reports'', '''6'''(1), 1-121 (1973).</ref>
:<math>\begin{matrix}\begin{align}
\hat{U}(t) &= e^{-i\hat{H}_{\text{JC}}t/\hbar}\\
&=
\begin{pmatrix}
e^{- i \omega_c t (\hat{a}^{\dagger} \hat{a} + \frac{1}{2})}\left( \cos t \sqrt{\hat{\varphi} + g^2} - i \delta/2 \frac{\sin t \sqrt{\hat{\varphi} +
g^2}}{\sqrt{\hat{\varphi} + g^2}}\right)
& - i g e^{- i \omega_c t (\hat{a}^{\dagger} \hat{a} + \frac{1}{2})} \frac{\sin t \sqrt{\hat{\varphi} + g^2}}{\sqrt{\hat{\varphi} + g^2}} \,\hat{a} \\

-i g e^{- i \omega_c t (\hat{a}^{\dagger} \hat{a} - \frac{1}{2})}\frac{\sin t \sqrt{\hat{\varphi}}} {\sqrt{\hat{\varphi}}}\hat{a}^{\dagger}
& e^{- i \omega_c t (\hat{a}^{\dagger} \hat{a} - \frac{1}{2})} \left( \cos t \sqrt{\hat{\varphi}} + i \delta/2 \frac{\sin t \sqrt{\hat{\varphi}}}{\sqrt{\hat{\varphi} }}\right)
\end{pmatrix}
\end{align}\end{matrix}</math>

其中，定義算符<math>~\hat{\varphi}~</math>為

:<math> \hat{\varphi} = g^2 \hat{a}^{\dagger} \hat{a} + \delta^2/4 </math>

<math>~\hat{U}~</math>的么正(unitary )被恆等定義：

:<math>\frac{\sin t\,\sqrt{\hat{\varphi} + g^2}}{\sqrt{\hat{\varphi} + g^2}}\; \hat{a} = \hat{a}\; \frac{\sin t\,\sqrt{\hat{\varphi}}}{\sqrt{\hat{\varphi}}} ,</math>
:<math>\cos t\, \sqrt{\hat{\varphi} + g^2}\; \hat{a} = \hat{a}\; \cos t
\sqrt{\hat{\varphi}},</math>

[[么正算符]]可以計算被密度矩陣<math>~\hat{\rho}(t)~</math>所描述的含時系統狀態的演變，[[么正算符]]包含了所有可觀測量。給定初態<math>~\hat{\rho}(0)~</math>，則有：

:<math>\hat{\rho}(t)=\hat{U}^{\dagger}(t)\hat{\rho}(0)\hat{U}(t)</math>，
:<math>\langle\hat{\Theta}\rangle_{t}=\text{Tr}[\hat{\rho}(t)\hat{\Theta}]</math> ，
:其中，<math>~\hat{\Theta}~</math> 是表示可觀測量的算符。
:
==量子震盪的崩塌和復興==

[[File:ColRev3a40.tif|ColRev3a40|600px]]

原子反轉的量子震盪圖像（二次反比失諧參數 <math>\begin{smallmatrix}a = (\delta/(2g))^2 = 40\end{smallmatrix}</math>， 其中<math>\delta</math>是失諧參數），基於 [[Anatolii Alexeevitch Karatsuba|A.A. Karatsuba]] 和 E.A. Karatsuba 取得的基本公式<ref>{{cite journal| author = A. A. Karatsuba, E. A. Karatsuba| title=  A resummation formula for collapse and revival in the Jaynes–Cummings model| pages=195304, 16| journal= J. Phys. A: Math. Theor.| issue= 42| year= 2009| doi= 10.1088/1751-8113/42/19/195304|bibcode = 2009JPhA...42s5304K }}</ref>。

==參考資料==
{{reflist}}

==參考文獻==
{{refbegin}}
* [[塞尔日·阿罗什|Serge Haroche]], Jean-Michel Raimond: Exploring the Quantum: Atoms, Cavities, and Photons. Oxford University Press 2006, ISBN 978-0198509141
{{refend}}

==延伸閱讀==
{{refbegin}}
*C.C. Gerry and P.L. Knight (2005). ''Introductory Quantum Optics'', Cambridge: Cambridge University Press.
*M. O. Scully and M. S. Zubairy (1997), ''Quantum Optics'', Cambridge: Cambridge University Press.
*D. F. Walls and G. J. Milburn (1995), ''Quantum Optics'', Springer-Verlag.
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[[Category:量子光學]]