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在[[数学]]中，傅里叶'''正弦和余弦变换'''是[[傅里叶变换]]不使用复数的表达形式。它们最初被[[约瑟夫·傅里叶]]使用并仍在某些应用中有所擅长，如[[信号处理]]和[[统计学|概率统计]]。

==定义==
方程 {{math| ''f'' (''t'')}} 的'''傅里叶正弦变换'''，有时也被表示为<math> {\hat f}^s </math> or <math> {\mathcal F}_s (f) </math>，有

:<math> 2 \int_{-\infty}^\infty f(t)\sin(2\pi \omega t) \,dt.</math> 

:或 

:<math> \sqrt{ \frac{2}{\pi} } \int_{0}^\infty f(t)\sin(\omega t) \,dt.</math>

如果 {{mvar|t}} 代表时间，那么 {{mvar|ω}} 就是单位时间周期内的频率，但抽象来说，它们可以是互相关联的任何一对变量。

这个变换必须是频率的[[奇函数]]，即对所有的 {{mvar|ω}}：

:<math>  {\hat f}^s(\omega) = - {\hat f}^s(-\omega).</math>

[[傅里叶变换]]中的数值因子仅由它们的乘积定义。为了让傅里叶逆变换公式不包含任何数值因子，因子 2 出现因为对正弦函数有
{{math|''L''<sup>2</sup>}} norm of <math>\tfrac{1}{\sqrt2}.</math>

方程 {{math| ''f'' (''t'')}} 的'''傅里叶余弦变换'''，有时也被表示为<math> {\hat f}^c </math>或<math> {\mathcal F}_c (f)</math>，有

:<math>2 \int_{-\infty}^\infty f(t)\cos(2\pi \omega t) \,dt.</math>

这个变换必须是频率的[[偶函数]]，即对所有的 {{mvar|ω}}：

:<math>{\hat f}^c(\omega) =  {\hat f}^c(-\omega).</math>

一些著者<ref>Mary L. Boas，在《Mathematical Methods in the Physical Sciences》，第二版，John Wiley & Sons Inc, 1983. ISBN 0-471-04409-1</ref>仅定义了 {{mvar|t}} 的[[偶函数]]的余弦变换，在这种情形下正弦变换为 0。因为余弦也是偶函数，所以可以使用更简单的公式：

:<math> 4 \int_0^\infty f(t)\cos(2\pi \omega t) \,dt.</math> 

相似地，如果 {{math| ''f'' }} 是[[奇函数]]，那么余弦变换就为 0 且正弦变换简化为：

:<math>4\int_0^\infty f(t)\sin(2\pi \omega t) \,dt.</math>

==傅里叶逆变换==
按照通常的假设，原始方程 {{math| ''f'' }} 可以从变换形式中复原。即 {{math| ''f'' }} 和它的两种变换都是绝对可积的。更多不同的假设，参见[[傅里叶逆变换]]。

逆公式是<ref>{{cite book|last=[[龐加萊|Poincaré]]|first=Henri|title=Theorie analytique de la propagation de chaleur|year=1895|publisher=G. Carré|location=Paris|pages=pp. 108ff.|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5500702f/f115.image|access-date=2014-05-27|archive-date=2017-08-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20170807181326/http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5500702f/f115.image|dead-url=no}}</ref>：

:<math> f(t) = \int _0^\infty {\hat f}^c \cos (2\pi \omega t) d\omega + \int _0^\infty {\hat f}^s \sin (2\pi \omega t) d\omega,</math>

它有一个优点是所有频率都是正数且所有量都是实数。如果省略变换中的因子 2，那么逆公式通常写为正和负频率的的积分。

用余弦的变换公式，可以再表示为：

:<math> \tfrac{\pi}{2} \left(f(x+0)+f(x-0) \right ) = \int _0^\infty \int_{-\infty}^\infty  f(t) \cos ( \omega (t-x) ) dt d\omega, </math>

这里 {{math| ''f'' (''x'' + 0)}} 表示 {{math| ''f'' }} 当 {{mvar|x}} 从上方趋近于零的一边[[极限]]。且 {{math| ''f'' (''x'' − 0)}} 表示 {{math| ''f'' }} 当 {{mvar|x}} 从下方趋近于零一边的极限。

如果原始方程 {{math| ''f'' }} 是偶函数，那么正弦变换就为零；如果 {{math| ''f'' }} 是奇函数，那么余弦变换就为零。在任何一种可能中，逆变换方程都可以化简。

== 与複指数的关系 ==
如今用得更为广泛的[[傅里叶变换]]的形式是
:<math>\begin{align}
\hat{f}(\nu) &= \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-2\pi i\nu t}\,dt \\
&= \int_{-\infty}^\infty f(t)(\cos (2\pi\nu t) - i\,\sin (2\pi\nu t))\,dt && \text{Euler's Formula} \\
&= \left (\int_{-\infty}^\infty f(t)\cos(2\pi \nu t) \,dt \right ) - i \left (\int_{-\infty}^\infty f(t)\sin(2\pi \nu t) \,dt \right )\\
&= \tfrac{1}{2} {\hat f}^c (\nu) - \tfrac{i}{2} {\hat f}^s (\nu)
\end{align}</math>

==相关条目==
*[[离散余弦变换]]
*[[离散正弦变换]]

==参考==
* Whittaker, Edmund, and James Watson, ''A Course in Modern Analysis'', Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, 1927, pp. 189, 211

<references />

[[Category:积分变换]]
[[Category:傅里叶分析]]