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{{NoteTA|1=zh:傅里叶; zh-hans:傅里叶; zh-hant:傅立葉;}}
{{傅里叶变换}}
在数学领域的谐波分析中，[[连续傅里叶变换]]（continuous Fourier transform, CFT）与[[傅里叶级数]] （Fourier series, FS）有非常微妙的关系。而且连续傅里叶变换也与[[离散时间傅里叶变换]]（discrete time Fourier transform, DTFT）和[[离散傅里叶变换]]（discrete Fourier transform, DFT）有很近的关系。[[傅里叶变换家族]]通常就是指这四种变换。

通过利用Dirac delta函数 <math>\delta(t)</math> ，CFT可以应用到时间离散 （time-discrete）或时间周期（time-periodic）信号。实际上，FS、 DTFT和DFT都可以由最广泛的CFT得到。从理论上看，它们也都是CFT的特殊情况。

在信号理论和[[数字信号处理]]（digital signal processing, DSP）中，DFT扩展用于近似计算连续信号的频谱，其变换的对象只是一个采样点的有限序列，而且可以由[[快速傅里叶变换]]（fast Fourier transform, FFT）实现。

== 家族中各个变换的定义 ==
下表中左上、左下、右上和右下分别对应了傅里叶变换家族中CFT、FS、DTFT和DFT四个变换对的定义。

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+傅里叶变换家族中各种变换的定义
|-
! &times; !! 连续时间 !! 离散时间
|-
! 时间非周期
| <math>x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}X(f)\ e^{i2\pi ft}\,df</math> ||<math>x[n]=T_s\int_{1/T_s}\bar{X}(f)\ e^{i2\pi fnT_s}\ df</math>
|-
! -
| <math>X(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\ e^{-i2\pi ft}\,dt</math> || <math>\bar{X}(f)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]\ e^{-i2\pi fnT_s}</math>
|-
! 时间周期
|  <math>\bar{x}(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\! X[k]\; e^{i\frac{2\pi k}{T_0}t}</math> 
|| <math>x_n=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X_k \; e^{i\frac{2\pi}{N}kn}, \quad n=0,\dots,N-1.</math>
|-
! -
| <math>X[k]=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}\bar{x}(t)\; e^{-i\frac{2\pi k}{T_0}t}\,dt</math>  || <math>X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n\; e^{-i\frac{2\pi}{N}kn}, \quad k=0,\dots,N-1.</math> 
|}

显然，上表是从时域信号的角度来划分的：表的列区分了连续时间和离散时间的信号，而表的行则区分了时间上非周期的信号和时间上周期的信号。其中重要的参量符号解释为：
* <math>x[n]</math> 和 <math>X[k]</math> 都为无限序列，其采样间隔，即间隔时间和间隔频率分别为 <math>T_s</math> 和 <math>f_0 =1/T_0</math> ；
* <math>\bar{x}(t)</math> 和 <math>\bar{X}(f)</math> 都为周期函数，且时间周期和频率周期分别为 <math>T_0</math> 和 <math>f_s=1/T_s</math> ；
* <math>x_n</math> 和 <math>X_k</math> 都为有限序列，且序列长度都为 <math>N</math> ；

== 关系推导所需的公式 ==
前面表中的定义都可以通过[[狄拉克δ函數|Dirac delta函数]] <math>\delta(t)</math> 的扩展形式  ，即Dirac comb函数，由CFT引入或推导。为计算离散和/或周期信号的CFT，我们需要引入一些公式，并使用傅里叶变换的一些特性。以下集中给出：

'''1. [[Dirac comb]]函数的傅里叶变换'''

Dirac comb函数的定义为
::<math>\Delta_T(t)\stackrel{\text{def}}{=}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)</math>
在电气工程中通常又称作冲击串（impulse train）或采样函数 （sampling function）。其重要的傅里叶变换为：
::<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{i\frac{2\pi k}{T}t}
\quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad
\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta\left(f-\frac{k}{T}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-i2\pi nTf}</math>
这个变换在傅里叶变换家族中各个变换之间转换上起关键作用。

'''2. 傅里叶变换的[[卷积定理]]（convolution theorem）'''

这包括了傅里叶变换的时域卷积和频域卷积：
::<math>
\begin{align}
x_1(t)\ast x_2(t) &\quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad X_1(f)\cdot X_2(f) \\
x_1(t)\cdot x_2(t) &\quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad X_1(f)\ast X_2(f) 
\end{align}
</math>

'''3. [[泊松求和公式]]（Poisson summation formula）'''

由Dirac comb函数的傅里叶变换和卷积定理，容易证明泊松求和公式：
::<math>
\begin{align}
1. \qquad &\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t-nT_0)=\frac{1}{T_0}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X\left(\frac{k}{T_0}\right)e^{i\frac{2\pi k}{T_0}t} \\
2. \qquad &\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)e^{-i2\pi nTf}=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X\left(f-\frac{k}{T}\right)
\end{align}
</math>
若第1和第2公式中分别取 <math>t=0</math> 和 <math>f=0</math> ，得到相同等式：
::<math>
\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X\left(\frac{k}{T}\right)
</math>
这表明，傅里叶变换时时域函数 <math>x(t)</math> 和频域函数 <math>X(f)</math> 分别以 <math>T</math> 和 <math>1/T</math> 为间隔采样，则所有时域采样点的总和与所有频域采样点扩大 <math>1/T</math> 的总和相等。

== 各种变换之间的关系 ==
[[Image:Fourier-Relation.png|center|968px|thumb|'''图 1.''' 此“立方体”图形表示了[[连续傅里叶变换]]、[[离散时间傅里叶变换]]、[[傅里叶级数]]和[[离散傅里叶变换]]之间的关系。]]


图中立方体包含了频域和时域两个平面上各种变换的关系，同时两平面相连的四个边则分别代表了CFT、FS、DTFT和DFT。其中参量符号与前面表中相同，另外增加：
* <math>\tilde{X}_k</math> 为由FS和DTFT推导DFT得到的DFT'频域形式，与传统DFT的频域 <math>X_k</math> 有关系： <math>X_k=T_0\tilde{X}_k</math> ；
* 图中粗的双箭头（<math>\leftrightarrow</math>）表示每个函数和其变换之间的联系；
总的说来，各种变换之间的转换是一个周期扩展或采样的过程：
* 如果时域进行周期扩展，则频域为采样；如果时域进行采样，则频域为周期扩展；
* 一个转换中，周期扩展的周期与采样的间隔有倒数关系；
* 频域的周期扩展或者采样，都有一个周期或采样间隔作系数；
这里的周期扩展就是与Dirac comb函数相卷积，而采样则是与Dirac comb函数相乘。

从CFT分别到FS和DTFT的转换都容易推导，下面具体说明FS和DTFT到DFT/DFT'转换的推导，最后说明连续FT与DFT/DFT'的关系。

=== 由DTFT推导DFT ===
设DTFT，及对应的CFT为：
::<math>
\begin{align}
x[n] &\quad\stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow}\quad \bar{X}(f) \\
\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\cdot\delta(t-nT)
    &\quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad \bar{X}(f)
\end{align}
</math>
在时域作周期为 <math>T_0</math> 的扩展，有:
::<math>
\begin{align}
&\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\cdot\delta(t-nT)\right)
    \ast\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)\right) \\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(nT)\cdot\delta(t-nT-iNT) \\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iNT)\right)\delta(t-nT)
\end{align}
</math>
其中代入了 <math>T_0=NT</math> ，而由于 <math>n</math> 和 <math>i</math> 的求和区间都为 <math>-\infty</math> 到 <math>\infty</math> ，可以用 <math>n-iN</math> 代替 <math>n</math> 得到最后一步推导。取：
::<math>
\begin{align}
x_n &=\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iNT)=\sum_{i=-\infty}^{\infty}x[n-iN] \\
    &=\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iT_0)
\end{align}
</math>
在频域作带系数 <math>1/T_0</math> 且间隔也为 <math>1/T_0</math> 的采样，有：
::<math>
\begin{align}
&\bar{X}(f)\cdot\frac{1}{T_0}\sum_{k=-\infty}^{\infty}
    \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right) \\
&=\frac{1}{T_0T}\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty}
    X\left(f - \frac{k}{T}\right)\right)
    \cdot\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty}
    \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right)\right)\\
&=\frac{1}{T_0T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\sum_{i=-\infty}^{\infty}
    X\left(f - \frac{i}{T}\right)\cdot
    \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right)\right)\\
&=\frac{1}{T_0T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\sum_{i=-\infty}^{\infty}
    X\left(\frac{k}{T_0} - \frac{i}{T}\right)\right)
    \cdot\delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right)
\end{align}
</math>
取：
::<math>
\tilde{X}_k=\frac{1}{T_0T}\sum_{i=-\infty}^{\infty}
X\left( \frac{k}{T_0} - \frac{i}{T} \right)    
=\frac{1}{T_0}\bar{X}\left(\frac{k}{T_0}\right)
</math>


=== 由FS推导DFT ===
设FS，及对应的CFT为：
::<math>
\begin{align}
\bar{x}(t) &\quad\stackrel{\mathcal{FS}}{\longleftrightarrow}\quad X[k] \\
\bar{x}(t) &\quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad 
    \sum_{k=-\infty}^{\infty}X[k]\cdot\delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right).
\end{align}
</math>
在时域作间隔为 <math>T</math> 采样，有：
::<math>
\begin{align}
&\bar{x}(t)\cdot\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT) \\
&=\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t-nT_0)\right)\cdot
    \left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)\right) \\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(
    \sum_{i=-\infty}^{\infty}x(t-iT_0)\cdot\delta(t-nT)\right) \\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(
    \sum_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iT_0)\right)\cdot\delta(t-nT)
\end{align}
</math>
取：
::<math>
x_n=\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iT_0)=\bar{x}(nT)
</math>
在频域作带系数 <math>1/T</math> 且周期也为 <math>1/T</math> 扩展，有：
::<math>
\begin{align}
&\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty}X[k]\cdot
    \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right)\right)
    \ast\left(\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}
    \delta\left(f - \frac{k}{T}\right)\right) \\
&=\frac{1}{T_0T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{i=-\infty}^{\infty}
    X\left(\frac{k}{T_0}\right)\cdot
    \delta\left(f - \frac{k}{T_0} - \frac{iN}{T_0}\right) \\
&=\frac{1}{T_0T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\sum_{i=-\infty}^{\infty}
    X\left(\frac{k-iN}{T_0}\right)\right)\cdot
    \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right)
\end{align}
</math>
其中也代入了 <math>T_0=NT</math> ，而由于 <math>k</math> 和 <math>i</math> 的求和区间都为 <math>-\infty</math> 到 <math>\infty</math> ，可用 <math>k-iN</math> 替代 <math>k</math> 得到最后一步推导。 取：
::<math>
\begin{align}
\tilde{X}_k &=\frac{1}{T_0T}\sum_{i=-\infty}^{\infty}
    X\left(\frac{k-iN}{T_0}\right)
    =\frac{1}{T}\sum_{i=-\infty}^{\infty}X[k-iN] \\
    &=\frac{1}{T_0T}\sum_{i=-\infty}^{\infty}
    X\left(\frac{k}{T_0} - \frac{i}{T}\right)
\end{align}
</math>


=== CFT与DFT的关系 ===
前面FS到DFT和DTFT到DFT的推导都得到相同的 <math>x_n</math> 和 <math>\tilde{X}_k</math> 。这里的 <math>x_n</math> 和 <math>\tilde{X}_k</math> 可看作一种DFT变换对，有关系：
::<math>
\begin{align}
\tilde{X}_k &
    =\frac{1}{T_0}\sum\limits_{n=0}^{N-1}\ x_n e^{-\frac{2\pi i}{N}kn} \\
x_n &=T\sum\limits_{k=0}^{N-1}\ \tilde{X}_k e^{\frac{2\pi i}{N}kn}
\end{align}
</math>
记为：
::<math>
x_n \quad\stackrel{\mathcal{DFT'}}{\longleftrightarrow}\quad \tilde{X}_k
</math>
对比传统DFT变换对的 <math>x_n</math> 和 <math>X_k</math> ，显然有：
::<math>
X_k=T_0\tilde{X}_k.
</math>
这一对变换的等式右边系数的乘积为 <math>T/T_0=1/N</math> ，符合我们在[[离散傅里叶变换|DFT]]中的说明，因而完全可以将这里的DFT'看作传统DFT的另一种变换形式 。

而由前面转换的推导过程可得到：
::<math>
\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_n\cdot\delta(t-nT)
     \quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad 
\begin{matrix}
\displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}
    \tilde{X}_k\cdot
    \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right)}\\
\displaystyle{=\frac{1}{T_0}
    \sum_{k=-\infty}^{\infty}X_k\cdot
    \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right)}
\end{matrix}
</math>
为一对CFT，其中要求 <math>T_0=NT</math> 。加之如果 <math>x(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}X(f)</math>，则有：
::<math>
x_n=\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iT_0)
\begin{matrix}
\displaystyle{\quad\stackrel{\mathcal{DFT'}}{\longleftrightarrow}\quad
    \tilde{X}_k=\frac{1}{T_0T}\sum_{i=-\infty}^{\infty}X\left(\frac{k}{T_0} - \frac{i}{T}\right)} \\
\displaystyle{\quad\stackrel{\mathcal{DFT}}{\longleftrightarrow}\quad
    X_k=\frac{1}{T}\sum_{i=-\infty}^{\infty}X\left(\frac{k}{T_0} - \frac{i}{T}\right)}
\end{matrix}
</math>
其中可以任选 <math>T_0</math> 和 <math>T</math> 。这样就建立了CFT和DFT之间的双向关系。但应注意到，此时我们已经将DFT'和DFT都做了周期拓展，即 <math>n,k\in\mathbb{Z}</math> 。

== 参看 ==
* [[傅里叶变换]]
* [[傅里叶级数]]
* [[离散时间傅里叶变换]]
* [[离散傅里叶变换]]

==参考文献==
# Oppenheim, Alan V.; Schafer, R. W.; and Buck, J. R., (1999). ''Discrete-time signal processing'', Upper Saddle River, N.J. : Prentice Hall. ISBN 0137549202
# Sklar, B., (2001). ''Digital Communications: Foundamentals and Applicatons, 2nd Edition'', Prentice Hall PTR. ISBN 0130847887 

[[Category:傅里叶变换|F]]
[[category:数字信号处理|F]]

[[en:Fourier analysis#Variants of Fourier analysis]]