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'''偽球面'''（{{lang-en|pseudosphere}}，又譯'''擬球面'''）是[[幾何學]]中[[高斯曲率]]恆為負的平面。一半徑<math>R</math>的偽球面，是<math>\mathbb{R}^3</math>中每點高斯曲率均為<math>\textstyle -1/R^2</math>的平面。偽球面這個名稱是類比半徑<math>R</math>的球面（曲率<math>\textstyle 1/R^2</math>的平面），由[[贝尔特拉米]]於1868年[[雙曲幾何]]模型的論文提出。<ref>{{Cite journal
 | first=Eugenio
 | last=Beltrami
 | title=Saggio sulla interpretazione della geometria non euclidea
 | trans-title=Treatise on the interpretation of non-Euclidean geometry
 | journal=Gior. Mat.
 | volume=6
 | pages=248–312
 | language=it
 | year=1868
}}</ref><ref>{{Cite book
 | first=Eugenio
 | last=Beltrami
 | title=Opere Matematiche
 | trans-title=Mathematical Works
 | volume=1
 | pages=374&ndash;405
 | language=it
 | isbn=1-4181-8434-9
}}</ref><ref>{{Cite journal
 | first=Eugenio
 | last=Beltrami
 | title=Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne
 | trans-title=Treatise on the interpretation of non-Euclidean geometry
 | journal=Annales de l'École Normale Supérieure
 | year=1869
 | volume=6
 | pages=251&ndash;288
 | language=fr
 | url=http://smf4.emath.fr/Publications/AnnalesENS/1_6/html/
 | author=
 | access-date=2018-08-08
 | archive-url=https://web.archive.org/web/20160202005240/http://smf4.emath.fr/Publications/AnnalesENS/1_6/html/
 | archive-date=2016-02-02
 | dead-url=yes
 }}</ref>
其為[[曳物線]]繞其漸近線的[[旋轉曲面]]。
[[File:Pseudosphere.png|right|frame|旋轉跟蹤曲面（{{lang|en|Tractricoid}}）]]

== 定义 ==
对于<math>xOz</math>平面上的曳物线，其[[參數方程|参数方程]]为<math>(x,z)=(t-\tanh(t),\mathrm {sech} (t)),0\leq t<\infty </math>. 

当其绕z轴旋转一圈时，根据[[旋轉曲面|旋转曲面]]的一般参数方程<ref>{{Cite book|title=微分几何|last=梅|first=向明|publisher=高等教育出版社|year=2008|isbn=9787040235722|edition=第四版}}</ref>，可得到曲面标准参数方程：

<math> \left\{\begin{matrix}
 x=(t-\tanh(t))\cdot \cos(\theta ),\\
y=(t-\tanh(t))\cdot \sin(\theta ), \\
z=\mathrm{sech}(t).
\end{matrix}\right.</math> 其中 <math>0\leq \theta \leq 2\pi, 0\leq t<\infty</math>.

该方程即为曳物面方程，又称伪球面方程。

== 性质 ==
伪球面是一个奇异空间 (赤道上的点为[[奇点 (几何)|奇点]]) 。但在奇点外，它具有恒定的负高斯曲率，因此局部等距于[[双曲面]]。

“伪球”这个名字的产生是因为它是一个有恒定负高斯曲率的二维曲面，和一个球有恒定正高斯曲率恰恰相反。就像球体在每一点上都有一个正曲率的[[球面几何]]一样，伪球在除奇点每一点上都有一个负曲率的[[双曲几何]]。

早在1693年，[[惠更斯]](Christiaan Huygens)就发现尽管其旋转后的范围是无限的, 但伪球的体积和表面积是有限的。对于给定的伪半径 R，伪球的表面积是<math>4\pi R^2</math>，和同半径·球面相同。

== 參考資料 ==
{{reflist}}

[[Category:微分几何]]
[[Category:雙曲幾何]]
[[Category:曲面]]

{{數學小作品}}