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[[File:Mixtilinear incircle.png|thumb|350x350px|三角形<math>ABC</math>內關於頂點<math>A</math>的偽內切圓]]

[[幾何學]]中，[[三角形]]的'''偽內切圓'''<ref>{{Cite journal| issue = 4| pages = 2–6| author1 = 潘成华| author2 = 田开斌| author3 = 褚小光| title = 与曼海姆定理有关的一类几何问题| journal = 中等数学| date = 2017| url = http://www.cqvip.com/qk/82667x/201704/671918138.html|issn = 1005-6416|quote = 与三角形外接圆内切且与三角形的两边相切的圆称为伪内切圆}}</ref>是[[內切]]於三角形兩條邊和其[[外接圓]]的一個圓。與[[頂點 (幾何)|頂點]]<math>A</math>的兩條邊相切的偽內切圓稱為「關於點<math>A</math>的偽內切圓」、「<math>A</math>所對的偽內切圓」或「<math>A</math>-偽內切圓」。

關於三角形的每個頂點都有唯一的偽內切圓。

==存在性及唯一性的證明==
關於點<math>A</math>的[[旁切圓]]是唯一的。

定義<math>\Phi</math>為以下兩個[[幾何變換]]的[[复合函数|複合]]：先以<math>A</math>點為圓心，<math>\sqrt{AB \cdot AC}</math>為半徑作[[反演|反演變換]]；再關於角<math>A</math>的平分線作[[鏡射對稱|對稱變換]]。由於反演變換和對稱變換都為[[雙射]]且變換前後保留交點的性質，<math>\Phi</math>也有對應的性質。

<math>A</math>點的旁切圓經<math>\Phi</math>變換後的圖像為內切於<math>AB</math>、<math>AC</math>，以及<math>ABC</math>外接圓的一個圓，即關於點<math>A</math>的偽內切圓。因此關於點<math>A</math>的偽內切圓唯一確定。類似地，關於點<math>B</math>及點<math>C</math>的偽切圓也唯一確定。<ref>{{Cite journal|last=Baca|first=Jafet|title=On Mixtilinear Incircles|url=https://www.awesomemath.org/wp-pdf-files/math-reflections/mr-2020-02/mr_2_2020_mixtilinear.pdf|journal=Mathematical Reflections|issue=2|year=2020|access-date=2023-01-21|archive-date=2022-10-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20221023121427/https://www.awesomemath.org/wp-pdf-files/math-reflections/mr-2020-02/mr_2_2020_mixtilinear.pdf|dead-url=no}}</ref>

== 其他性質 ==
=== 半徑 ===
以下公式說明了三角形內切圓半徑 <math>r</math> 和<math>A</math>-偽內切圓半徑 <math>\rho_A</math> 的關係：
<math display="block">r = \rho_A \cdot \cos^2{\frac{\alpha}{2}}</math> 其中 <math>\alpha</math> 是角<math>A</math>的大小<ref name=":0">{{Cite journal|last=Yui|first=Paul|date=2018-04-23|title=Mixtilinear Incircles|url=https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/00029890.1999.12005146|url-status=no|access-date=2021-10-27|journal=The American Mathematical Monthly|volume=106|issue=10|pages=952–955|doi=10.1080/00029890.1999.12005146|archive-date=2022-10-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20221023121427/https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/00029890.1999.12005146}}</ref>。

=== 與偽內切圓在三角形邊上的切點有關的性質 ===
三角形[[內心]]<math>I</math>為偽內切圓與三角形其中兩邊的切點<math>D</math>和<math>E</math>組成線段的中點<ref name=":2">{{Cite book|last=Chen|first=Evan |title=Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads|publisher=MAA|year=2016| isbn=978-1-61444-411-4| location=United States of America|pages=68-69}}</ref>。

<math>T_AD</math>和<math>T_AE</math>與圓<math>(ABC)</math>除<math>T_A</math>的交點分別為弧<math>\overset{\frown}{AB}</math>和<math>\overset{\frown}{AC}</math>的中點<ref name=":2"></ref>。

=== 跟偽內切圓與三角形外接圓切點有關的圓 ===
<math>T_ABDI</math> 和 <math>T_ACEI</math> 為[[圓內接四邊形]]<ref name=":2"></ref>。

<math>T_AI</math>與圓<math>(ABC)</math>除<math>T_A</math>的交點為弧<math>\overset{\frown}{BAC}</math>的中點<ref name=":2"></ref>。

== 參考資料 ==
{{Reflist}}

== 參看 ==
* [[三角學]]
* [[內切圓]]

== 外部鏈結 ==
*{{mathworld|MixtilinearIncircles|Mixtilinear Incircles}}

[[Category:三角形几何]]
[[Category:圆]]