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[[File:Rcprwrld2.png|thumb|right|300px|一个二维晶体及其倒易点阵]]

'''倒易点阵'''（{{lang-en|reciprocal lattice}}），又称'''倒（易）晶格'''、'''倒（易）格子'''，是物理学中描述空间[[波函数]]的[[傅立叶变换]]后的周期性的一种方法。相对于正晶格所描述的实空间周期性，倒晶格描述的是[[动量空间]]，亦可认为是k空间的周期性。根据位置和动量所满足的[[庞特里亚金对偶性]]，[[布拉菲晶格]]的倒晶格仍然是一种[[布拉菲晶格]]，而倒晶格的倒晶格就会变回原始晶格（正晶格）。

==数学描述==

===一维晶格===
对于以<math>\boldsymbol{a}</math>为基矢的一维晶格，其倒格子的基矢为
:<math>\boldsymbol{b}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a}}{a^2}</math>

===二维晶格===
对于以<math>(\boldsymbol{a_{1}}, \boldsymbol{a_{2}}) </math>为基矢的二维晶格，定义其二维平面[[法线]]向量为<math>\boldsymbol{n}</math>，其倒格子的基矢为
:<math>\boldsymbol{b_{1}}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a_{2}} \times \boldsymbol{n}}{\boldsymbol{a_{1}} \cdot (\boldsymbol{a_{2}} \times \boldsymbol{n})} </math>
:<math>
\boldsymbol{b_{2}}=2 \pi \frac{\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{a_{1}}}{\boldsymbol{a_{2}} \cdot (\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{a_{1}})} 
</math>

===三维晶格===
對三維晶格而言，我們定義[[素晶胞]]的基矢 <math> (\boldsymbol{a_{1}}, \boldsymbol{a_{2}}, \boldsymbol{a_{3}}) </math>，可以用下列公式決定倒晶格的晶胞基矢<math> (\boldsymbol{b_{1}}, \boldsymbol{b_{2}}, \boldsymbol{b_{3}}) </math>
:<math>\boldsymbol{b_{1}}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a_{2}} \times \boldsymbol{a_{3}}}{\boldsymbol{a_{1}} \cdot (\boldsymbol{a_{2}} \times \boldsymbol{a_{3}})} 
</math>
:<math>
\boldsymbol{b_{2}}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a_{3}} \times \boldsymbol{a_{1}}}{\boldsymbol{a_{2}} \cdot (\boldsymbol{a_{3}} \times \boldsymbol{a_{1}})} 
</math>
:<math>
\boldsymbol{b_{3}}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a_{1}} \times \boldsymbol{a_{2}}}{\boldsymbol{a_{3}} \cdot (\boldsymbol{a_{1}} \times \boldsymbol{a_{2}})}
</math>

===倒晶格与正晶格的关系===
倒晶格与正晶格的基矢满足以下关系
:<math>\boldsymbol{a_{i}} \cdot \boldsymbol{b_{j}}=2 \pi \delta_{ij}=
\begin{cases} 
2 \pi,  & i\ =\ j \\
0, & i\ \ne\ j
\end{cases}
</math>
定义三维中的倒晶格向量'''G'''
:<math>\mathbf{G}=h \boldsymbol{b_{1}} + k \boldsymbol{b_{2}} + l \boldsymbol{b_{3}}</math>
其中(h,k,l)为[[密勒指数]]，向量'''G'''的[[模长]]与正晶格的晶面间距有以下关系
:<math>\mathbf{|G_{hkl}|}=\frac{2 \pi}{d_{hkl}}</math>
向量'''G'''和正晶格向量'''R'''有以下关系
:<math>\mathbf{R}=c_{1} \boldsymbol{a_{1}} + c_{2} \boldsymbol{a_{2}} + c_{3} \boldsymbol{a_{3}}</math>
:<math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{G \cdot R}}=1</math>
三维倒晶格中的晶胞体积Ω<sub>G</sub>和正晶格的晶胞体积Ω有以下关系
:<math>\Omega_{G}=\frac{(2 \pi)^3}{\Omega}</math>

==倒晶格的物理意义==
在此以一维晶格为例。在一个以<math>\boldsymbol{a}</math>为基矢的一维晶格中，其波函数应该为[[布洛赫波]]
:<math>\psi_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x})</math>
定义其倒晶格向量
:<math>\boldsymbol{G}=n\boldsymbol{b},\ n=0, 1, 2, \cdots</math>
:<math>\boldsymbol{b}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a}}{a^2}</math>
:<math>\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{a}=2 \pi n</math>
以及一个函数
:<math>
\begin{alignat}{2}
u_{\boldsymbol{k+G}}({\boldsymbol{x}}) & =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{x}}   u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x}) \\
u_{\boldsymbol{k+G}}({\boldsymbol{x+a}}) &=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{x}}  \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{a}}  u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x+a}) \\
& =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{x}}   u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x+a}) \\
\end{alignat}
</math>
由于<math>u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x})</math>是一个布洛赫波包，满足
:<math>
u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x+a})=u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x})
</math>
所以
:<math>
u_{\boldsymbol{k+G}} (\boldsymbol{x+a})=u_{\boldsymbol{k+G}} (\boldsymbol{x})
</math>
也是一个布洛赫波包。则波函数有以下性质
:<math>
\begin{align}
\psi_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x}) & = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x}) \\
& = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\boldsymbol{k+G})\cdot\boldsymbol{x}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{x}} u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x}) \\
& = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\boldsymbol{k+G})\cdot\boldsymbol{x}}u_{\boldsymbol{k+G}} (\boldsymbol{x}) \\
& = \psi_{\boldsymbol{k+G}} (\boldsymbol{x})
\end{align}
</math>
可见，倒晶格向量'''G'''描述了波函数在以'''k'''为基矢的动量空间（k空间）内的周期性。其向量单位，即倒晶格的基矢<math>\boldsymbol{b_{i}}</math>是描述k空间中平移对称性的基矢。其最小可重复单位，即倒晶格的晶胞，称为第一[[布里渊区]]。由于波矢'''k'''和动量与波函数对应的能量密切相关，在[[能带理论]]中也用来解释能带的周期性。

==倒晶格与晶体衍射==
晶体衍射满足[[布拉格定律]]
:<math>
\begin{alignat}{2}
2 d\sin\theta = n\lambda \\
2 \times \frac{2 \pi}{\lambda}\sin\theta=\frac{2 \pi}{d_{n}} \\
\end{alignat}
</math>

定义入射波波矢为<math>\boldsymbol{k}</math>，则上述公式可变换为
:<math>
\begin{array}{lcl}
|\boldsymbol{k}|= \cfrac{2 \pi}{\lambda} \\
\mathbf{|G_{hkl}|}=\cfrac{2 \pi}{d_{hkl}} \\
2 |\boldsymbol{k}|  \sin \theta = |\mathbf{G}| \\
\end{array}
</math>
因此满足布拉格定律的晶体衍射反映的不是正晶格，而是倒晶格。

进一步将以上公式转化为向量形式，定义入射波波矢为<math>\boldsymbol{k_i}</math>，反射波波矢为<math>\boldsymbol{k_o}</math>，可以得到
:<math>
\boldsymbol{\Delta k} = \boldsymbol{k_o} - \boldsymbol{k_i} = \mathbf{G}
</math>
这个形式也和[[劳厄方程式]]相符。

晶体衍射的想法也可以用来解释[[能带结构]]中，为什么能量的分布是不連續的。

== 常见布拉菲晶格的倒晶格 ==

=== 簡單立方晶體 ===

[[立方晶系|簡單立方晶體]]的素格子基矢可以寫成
:<math>\boldsymbol{a_1}=a\hat{x}</math>
:<math>\boldsymbol{a_2}=a\hat{y}</math>
:<math>\boldsymbol{a_3}=a\hat{z}</math>

體積為
:<math>\boldsymbol{a_1}\cdot\boldsymbol{a_2}\times\boldsymbol{a_3}=a^3</math>

可推得倒晶格的素格子基矢
:<math>\boldsymbol{b_1} = {2\pi \over a} \hat{x}</math>
:<math>\boldsymbol{b_2} = {2\pi \over a} \hat{y}</math>
:<math>\boldsymbol{b_3} = {2\pi \over a} \hat{z}</math>

所以簡單立方晶體的倒晶格同樣為簡單立方晶體，但是晶格常數為 <math>2 \pi\over a</math>。

=== 面心立方晶體(FCC) ===

[[立方晶系|面心立方晶體]]的素格子基矢可以寫成下列三項
:<math>\boldsymbol{a_1}={a\over 2}\left(\hat{y}+\hat{z} \right)</math>
:<math>\boldsymbol{a_2}={a\over 2}\left(\hat{z}+\hat{x} \right)</math>
:<math>\boldsymbol{a_3}={a\over 2}\left(\hat{x}+\hat{y} \right)</math>

體積為
:<math>\boldsymbol{a_1}\cdot\boldsymbol{a_2}\times\boldsymbol{a_3}={a^3\over 4}</math>

可推得倒晶格之素格子基矢
:<math>\boldsymbol{b_1} = {2\pi \over a} \left(-\hat{x} +\hat{y} +\hat{z}\right)</math>
:<math>\boldsymbol{b_2} = {2\pi \over a} \left(+\hat{x} -\hat{y} +\hat{z}\right)</math>
:<math>\boldsymbol{b_3} = {2\pi \over a} \left(+\hat{x} +\hat{y} -\hat{z}\right)</math>

面心立方晶體的倒晶格為體心立方晶體。

=== 體心立方晶體(BCC) ===

[[立方晶系|體心立方晶體]]的素格子基矢可以寫成下列三項
:<math>\boldsymbol{a_1}={a\over 2}\left(-\hat{x} +\hat{y} +\hat{z}\right)</math>
:<math>\boldsymbol{a_2}={a\over 2}\left(+\hat{x} -\hat{y} +\hat{z}\right)</math>
:<math>\boldsymbol{a_3}={a\over 2}\left(+\hat{x} +\hat{y} -\hat{z}\right)</math>

體積為
:<math>\boldsymbol{a_1}\cdot\boldsymbol{a_2}\times\boldsymbol{a_3}={a^3\over 2}</math>

可推得倒晶格之素格子基矢
:<math>\boldsymbol{b_1} = {2\pi \over a} \left(\hat{y}+\hat{z} \right)</math>
:<math>\boldsymbol{b_2} = {2\pi \over a} \left(\hat{z}+\hat{x} \right)</math>
:<math>\boldsymbol{b_3} = {2\pi \over a} \left(\hat{x}+\hat{y} \right)</math>

可得知體心立方晶體之倒晶格為面心立方晶體。

在[[布拉菲晶格]]中,三軸互為九十度的<math> (\boldsymbol{a_{1}}, \boldsymbol{a_{2}}, \boldsymbol{a_{3}})</math> (立方, 正方, 斜方)的晶體結構,是很容易被證明其倒晶格空間之三軸<math> (\boldsymbol{b_{1}}, \boldsymbol{b_{2}}, \boldsymbol{b_{3}}) </math>與其真實晶格之三軸有垂直的關係.

==参阅==
* [[晶体学]]
* [[对偶空间]]
* [[电子衍射]]
* [[埃瓦尔德球]]（{{lang-en|Ewald's sphere}}）
* [[密勒指数]]（{{lang-en|Miller index}}）
* [[布里渊区]]

==外部連結==
{{commons|Diffraction}}
* {{En}}http://newton.umsl.edu/run//nano/known.html {{Wayback|url=http://newton.umsl.edu/run//nano/known.html |date=20200831000433 }} - [[Jmol]]-based electron diffraction simulator lets you explore the intersection between reciprocal lattice and Ewald sphere during tilt.
* {{En}}[http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/reciprocal_lattice/index.php DoITPoMS Teaching and Learning Package on Reciprocal Space and the Reciprocal Lattice]{{Wayback|url=http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/reciprocal_lattice/index.php |date=20151127014146 }}

{{DEFAULTSORT:Reciprocal Lattice}}
{{固體物理學}}
[[Category:晶體學|D]]
[[Category:幾何學|D]]
[[Category:傅里叶分析|D]]
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[[Category:繞射|D]]