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<!--英文維基百科稱為large set，但似乎此名稱並不普遍，暫以其具體意義為條目標題-->
{{le|加性組合|Additive combinatorics}}数学中，'''倒數和發散'''的[[正整數]]集
:<math>S = \{s_0,s_1,s_2,s_3,\dots\} \subseteq \mathbb N</math>
是元素[[倒數]]的[[級數|級數和]][[發散]]的集合，即滿足
:<math>\frac{1}{s_0}+\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_2}+\frac{1}{s_3}+\cdots = \infty.</math>
下文簡稱「大集」。與之相反，'''倒數和收斂'''的集合，元素倒數和有限，下文簡稱「小集」。

如此區分集合的大小，見於{{link-en|蒙茲-薩斯定理|Müntz–Szász theorem}}<!--姓的譯法沿用[[音樂家肖像]]的尤金·蒙茲和[[薩斯·貝拉]]-->和[[埃尔德什等差数列猜想]]。

==例==
如無另外聲明，集合皆由正整數構成。
* 有限集必為小集。
* 全體正整數集<math>\{1,2,3,4,5,\dots\}</math>是大集。換言之，全體正整數的倒數和（稱為[[调和级数]]）發散。推而廣之，任何[[等差数列]]（即形如<math>\{a + nd: n \in \mathbb Z_{\ge 0}\}</math>的集合，其中<math>a, d</math>皆為正整數）皆是大集。
* 全體[[平方数]]的集合是小集（[[巴塞爾問題|其倒數和]]為<math>\pi^2 / 6</math>）。[[立方數]]、[[四次方數]]等亦然。更一般地，任何二次以上的正整數系數[[多項式]]取值的集合必為小集。
* <math>2</math>的冪組成的集合<math>\{1, 2, 4, 8, \ldots\}</math>是小集。對任何[[等比数列]]（即形如<math>\{a r^n: n \in \mathbb Z_{\ge 0}\}</math>的集合，其中<math>a, r</math>皆為正整數，且<math>r \ge 2</math>）也有同樣的結論。
* [[质数]]集已證明為大集（見[[素数的倒数之和]]）。相反，[[孿生質數]]集已證明為小集（見[[布朗常數]]），不過仍未知是否有無窮多對孿生質數。
* 雖然質數集為大，[[質數冪|質數真冪]]（即<math>p^n</math>，其中<math> n \ge 2</math>，<math>p</math>為質數）的集合為小。此性質常用於[[解析数论]]。一般地，[[次方數|完全<math>n</math>次方數]]的集合為小，甚至全體[[冪數]]（質因子皆高於一次的數）亦組成小集。
* 任意[[進位制|''b''進制]]下，不含某數字的數的集合也是小集。例如[[十進制]]中，不含數字7的數集<math display = "block">\{1, 2, \dots, 5, 6, 8, 9, \dots, 15, 16, 18, 19, \dots, 65, 66, 68, 69, 80, 81, \dots \}</math>是小集。此類集合的倒數和稱為[[肯普納級數]]。
* 若集合的[[上密度]]非零，則必為大。

==性質==
* 小集的[[子集]]仍是小集。
* 有限個小集之[[并集|並]]仍為小，因為兩個[[收斂級數]]之和仍收斂。用[[集合論]]術語複述，即小集組成{{link-en|理想 (集合論)|ideal (set theory)|理想}}。
* 任意小集的[[補集]]為大集。
* {{link-en|蒙茲-薩斯定理|Müntz–Szász theorem}}斷言，集合<math>S=\{s_1,s_2,s_3,\dots\}</math>為大，當且僅當由<math display = "block">\{1,x^{s_1},x^{s_2},x^{s_3},\dots\} </math>[[線性生成空間|線性張成]]的多項式集，在閉區間的[[連續函數]]空間<math>C([a, b])</math>中[[稠密集|稠密]]（關於{{link-en|一致範數|uniform norm}}拓撲）。此為[[魏尔施特拉斯逼近定理|斯通-魏爾施特拉斯定理]]的推廣。

==未解問題==
{{unsolved|數學|若正整數集不含任意有限長的[[等差數列]]，則其倒數和是否必收斂？}}

[[艾狄胥]]提出[[埃尔德什等差数列猜想|一個著名問題]]，問不含任意長度[[等差数列]]的集合，是否必為小集。他為此懸賞3000美元，高於自己{{link-en|艾狄胥諸猜想|Erdős conjectures|其他猜想}}，還開玩笑稱賞金違反[[最低工資]]法。<ref name="pomerance">{{cite journal |author = Carl Pomerance |url = https://www.ams.org/notices/199801/vertesi.pdf |title = Paul Erdős, Number Theorist Extraordinaire (Part of the article ''The Mathematics of Paul Erdős'') |trans-title = 艾狄胥，出類拔萃的數論家（〈艾狄胥的數學〉之一節） |journal = Notices of the AMS |date = 1998-01 |language = en |access-date = 2021-11-13 |archive-date = 2021-11-13 |archive-url = https://web.archive.org/web/20211113182230/https://www.ams.org/notices/199801/vertesi.pdf |dead-url = no }}</ref>後來，懸賞升至5000美元。<ref>{{cite book| page = 354 |last = Soifer |first = Alexander |year = 2008 | title = The Mathematical Coloring Book: Mathematics of Coloring and the Colorful Life of its Creators |trans-title = 數學塗色書：塗色的數學、開創者的繽紛生活| location =  New York |publisher =  Springer| isbn = 978-0-387-74640-1 |language = en}}</ref>截至2021年，問題仍然未解。

{{unsolved|數學|給定集合的描述，有何方法判斷其倒數和是否收斂？}}

一般地，給定某集合的定義，很難分辨該集合是大是小。仍有許多集合的倒數和未知是否收斂。

==參見==
*{{link-en|倒數和列表|List of sums of reciprocals}}

==參考文獻==
{{reflist}}
* {{cite journal | author = A. D. Wadhwa | year = 1975 |title = An interesting subseries of the harmonic series | url = https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1975-11_82_9/page/931 |trans-title = 調和級數的有趣子級數| journal = American Mathematical Monthly| volume = 82 | issue = 9 |pages = 931&ndash;933 |jstor = 2318503 | language = en}}

[[Category:组合数学]]
[[Category:整数数列]]
[[Category:级数]]