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{{More footnotes|date=2020年6月}}

[[File:Balancer with wine 3.JPG|thumb|upright=1.2|平衡台車是簡單的機械人系統。台車中有[[伺服機構]]，監控桿子的角度，利用讓台車來回移動時來維持直桿直立，上面的酒杯可以觀察直桿是否有大幅震蕩或是傾斜角度過大]]

'''倒單擺'''是[[質心]]在其樞紐點以上的[[擺]]。倒單擺在[[力學]]上無法穩定平衡，在沒有額外控制時，倒單擺會倒下。若利用[[控制系統]]控制桿的角度，在桿開始要倒下時調整質心位置，讓桿子不會倒下，可以維持倒單擺的平衡。倒單擺是[[動力學]]及[[控制理論]]中的經典問題，常用來測試不同的控制策略。倒單擺常以樞紐點在台車上的方式來呈現，如圖所示。這稱為「台車和桿子」<ref>C.A. Hamilton Union College Senior Project 1966</ref>。大部份的應用會限制單擺只有一個[[自由度 (工程学)|自由度]]，固定擺的[[旋轉軸]]。一般的單擺在重物在樞紐點下方時會平衡，倒單擺在其本質上就無法自行平衡，需要透過外在控制才能平衡。外在控制平衡的作法可以在樞紐點加[[力矩]]，或是讓樞紐點水平移動，再透過[[回授]]系統來使倒單擺平衡，改變質量相對樞紐點轉動的速度，或是讓樞紐點在垂直方向晃動。像人用手設法平衡倒立的掃帚，就是人工平衡倒單擺的例子。
<!--
A second type of inverted pendulum is a {{le|傾斜儀|tiltmeter}} for tall structures, which consists of a wire anchored to the bottom of the foundation and attached to a float in a pool of oil at the top of the structure that has devices for measuring movement of the neutral position of the float away from its original position.
-->
== 簡介 ==
單擺的重物在樞紐點下方時，即為系統的穩定[[力學平衡|平衡]]點。單擺不受外在力矩時可以維持不動，若讓單擺重物偏離平衡位置，放開後重力會產生力矩使單擺回到平衡點。倒單擺旳重物在樞紐點上方，會用剛體的桿子支持重物，位置恰好和穩定平衡點相差180度，是不穩定平衡點：倒單擺在不受外在力矩時可以維持不動，但若只要有一點偏差，重物就會偏離平衡，而重力產生的力矩會使單擺偏離平衡點，因此最後倒單擺會倒下。
  
為了要使單擺在倒單擺的位置下可以維持平衡，可以使用[[控制系統]]，監控倒單擺的角度，在倒單擺開始要倒下時加以施加力或是力矩，使它往反方面移動，設法讓它平衡。倒單擺是[[動力學]]及[[控制理論]]中的經典問題，常用來測試不同的控制演算法（例如[[PID控制器]]、[[状态空间]]、{{le|類神經網路|neural networks}}、[[模糊控制]]、[[遗传算法]]等）。此問題的一些變化包括有多個桿、由倒單擺改為台車及倒單擺系統（台車和桿子），在蹺蹺板上平衡台車及倒單擺系統。倒單擺和火箭或是飛彈導引系統有關，其重心位在阻力中心的後方，因此在空氣力學上會不穩定<ref>{{Cite web |url=https://www.grc.nasa.gov/WWW/k-12/VirtualAero/BottleRocket/airplane/rktstab.html |title=存档副本 |accessdate=2020-06-15 |archive-date=2020-03-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200320012808/https://www.grc.nasa.gov/WWW/k-12/VirtualAero/BottleRocket/airplane/rktstab.html |dead-url=no }}</ref>。用[[伺服機構]]平衡台車及倒單擺系統就可以對此問題有一些理解，或是徒手設法平衡倒立的掃帚也可以。利用自平衡的{{le|個人運輸工具|personal transporter}}即可解決此問題，例如[[賽格威]]、[[自平衡滑行车]]及{{le|自平衡單輪車|self-balancing unicycle}}。

另外有一種可以使倒單擺穩定，而且不需回授或是控制系統的方式，是將倒單擺的樞紐快速上下震盪，這稱為是[[卡皮察擺]]。若[[振荡]]的加速度及振幅夠大，倒單擺會以一種反直覺的方式從擾動中恢復平衡。若樞鈕是以[[簡諧運動]]的方式運動，則倒單擺的運動可以用[[马丢函数]]來描述<ref>{{Cite web |url=http://www2.math.ou.edu/~npetrov/joe-report.pdf |title=存档副本 |accessdate=2020-06-15 |archive-date=2010-06-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20100626045952/http://www.math.ou.edu/~npetrov/joe-report.pdf |dead-url=no }}</ref>。

==运动方程==

倒單擺的[[运动方程]]和單擺運動的限制條件有關。倒單擺會依照其運動組態的不同，有不同的运动方程。

===固定樞紐點===
若倒單擺的樞紐點固定無法移動，其運動方程會類似一般的[[單擺]]，但符號會有些不同。以下的運動方程假設沒有摩擦力，在運動時也沒有阻力，桿為剛體，沒有質量，而且運動限制在[[二维空间]]內。

:<math>\ddot \theta - {g \over \ell} \sin \theta = 0</math>

其中<math>\ddot \theta </math>是擺的[[角加速度]]，<math>g </math>是地球表面的[[標準重力]]，<math>\ell</math>是擺的長度，而<math>\theta</math>是擺相對平衡位置的角度。

也可以計算角加速度如下：

:<math>\ddot \theta = {g \over \ell} \sin \theta</math>

倒單擺的角加速度會使擺遠離不穩定平衡的垂直位置，角加速度和長度成反比。長的倒單擺倒下的速度會比較慢。

====用力矩及轉動慣量來推導====

假設倒單擺的擺由質量為<math>m </math>的質點，接在長度為<math>\ell</math>的剛體無質量桿上，擺的另一端是固定的樞紐點。

系統的淨[[力矩]]會等於[[轉動慣量]]和角加速度的乘積：
:<math>\boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}}=I \ddot \theta</math>
淨力矩是由重力產生的力矩：
:<math>\boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}}= m g \ell \sin \theta\,\!</math>
其中<math> \theta\ </math>是擺相對平衡位置的角度。

所得的方程式為：
:<math> I \ddot \theta= m g \ell \sin \theta\,\!</math>

點質點的轉動慣量公式為：
:<math>I = m R^2</math>
在倒單擺的例子中，半徑為擺的長度<math>\ell</math>。

將轉動慣量用<math>I = m \ell ^2</math>來表示
:<math> m \ell ^2 \ddot \theta= m g \ell \sin \theta\,\!</math>

等號兩邊同除<math>\ell^2</math>，可得：
:<math>\ddot \theta = {g \over \ell} \sin \theta</math>

===台車上的倒單擺===
[[Image:cart-pendulum.svg|thumb|300px|台車上倒單擺的圖，假設桿沒有質量，台車質量及擺的質量分別是M和m，桿的長度假設是<math> \ell </math>]]

台車上的倒單擺包括質量為<math>M</math>的台車,上面有可以轉動的桿，頂端有質量為<math>m </math>的重物，台車的運動方向受到限制，只能在一個方向進行線性運動。

==== 拉格朗日方程 ====
可以用[[拉格朗日力学]]推導運動方程。以右側的圖為準，其中的<math>\theta(t)</math>是長度為<math>l</math>的擺相對於垂直線的角度，而作用力是重力以及x方向的外力''F''。定義<math>x(t)</math>是台車的位置，系統的拉格朗日量<math>L = T - V</math>為：

:<math>
L = \frac{1}{2} M v_1^2  + \frac{1}{2} m v_2^2 - m g \ell\cos\theta 
</math>
其中<math>v_1</math>是台車速度，<math>v_2</math>是點狀質量<math>m</math>的速度。
<math>v_1</math>及<math>v_2</math>可以用x和<math>\theta</math>來表示，其作法是將速度寫成位置的一階導數：
:<math>
v_1^2=\dot x^2
</math>
:<math>
v_2^2=\left({\frac{d}{dt}}{\left(x- \ell\sin\theta\right)}\right)^2 + \left({\frac{d}{dt}}{\left( \ell\cos\theta \right)}\right)^2
</math>
簡化<math>v_2</math>的式子可得：
:<math>
v_2^2= \dot x^2 -2 \ell \dot x \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2

</math>

拉格朗日量為：
:<math>
L = \frac{1}{2} \left(M+m \right ) \dot x^2 -m \ell \dot x \dot\theta\cos\theta + \frac{1}{2} m \ell^2 \dot \theta^2-m g \ell\cos \theta
</math>
運動方程為：
:<math>
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot x}} - {\partial{L}\over \partial x} = F
</math>

:<math>
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot \theta}} - {\partial{L}\over \partial \theta} = 0
</math>
替代式子中的<math>L</math>，並且簡化，可以得到倒單擺的運動方程：
:<math>
\left ( M + m \right ) \ddot x - m \ell \ddot \theta \cos \theta + m \ell \dot \theta^2 \sin \theta = F
</math>
:<math>
\ell \ddot \theta - g \sin \theta = \ddot x \cos \theta
</math>
上述式子是非線性的，不過因為目標是維持倒單擺直立，方程式可以在<math>\theta \approx 0</math>附近線性化。

==== 牛頓第二運動定律====

若用[[牛頓第二運動定律]]求解此問題，可以得到單擺和台車各部份的作用力，每一個物體都有二個方程式，分別是x方向及y方向。台車的運動方程如下，等號左邊是合力，等號右邊是質量及加速度。

:<math>
F-R_x = M \ddot x
</math>
:<math>
F_N - R_y - M g = 0
</math>

上式中<math>R_x</math>和<math>R_y</math>是樞紐點上的作用力，<math>F_N</math>是台車受到的正向力。第二個式子只和垂直的作用力有關，因此可以用來求解正向力。第一個式子可以用求解水平的作用力。為了完成以上的方程，需要計算擺的加速度，若在慣性坐標下，點質量的位置是

:<math>
\vec r_P = (x-\ell \sin \theta) \hat x_I + \ell \cos \theta \hat y_I
</math>

在慣性坐標下，對時間取二階微分，即可得到加速度。

:<math>
\vec a_{P/I} = (\ddot x + \ell \dot \theta^2 \sin \theta  - \ell \ddot \theta \cos \theta ) \hat x_I + (-\ell \dot \theta^2 \cos \theta  - \ell \ddot \theta \sin \theta) \hat y_I
</math>

因此，用牛頓第二運動定律求解時，可以列出x方向及y方向的式子。注意給擺的反作用力是正的，給台車的是負的。這是因為牛頓第三運動定律的結果。

:<math>
R_x = m(\ddot x + \ell \dot \theta^2 \sin \theta  - \ell \ddot \theta \cos \theta )
</math>
:<math>
R_y - m g = m (-\ell \dot \theta^2 \cos \theta  - \ell \ddot \theta \sin \theta)
</math>

第一個方程式提供了一個在未知外力<math>F</math>時，可以計算水平反作用力的方式。可以用第二式求解垂直作用力，再將第一式的<math>R_x = m(\ddot x + \ell \dot \theta^2 \sin \theta  - \ell \ddot \theta \cos \theta )</math>用<math>F-R_x = M \ddot x</math>取代，可得

:<math>
\left (M+m \right) \ddot x  - m \ell \ddot \theta \cos \theta  + m \ell \dot \theta^2 \sin \theta  = F
</math>

可以觀察到這個式子和拉格朗日方程的結果完全一樣。為了得到第二式，需要將擺的運動方程和始終和擺垂直的單位向量進行點積，結果會列為物體座標（B）下的X軸。在慣性座標（I）下，向量可以用以下簡單的二維坐標轉換來表示

:<math> 
\hat x_B = \cos \theta \hat x_I + \sin \theta \hat y_I
</math>

擺的運動方程可以寫作向量的形式，為<math>\sum \vec F = m \vec a_{P/I}</math>。在兩側和<math>\hat x_B</math>作點積，可得以下等式的左邊（注意轉置後點積的結果相同）

:<math>
(\hat x_B)^T\sum \vec F = (\hat x_B)^T (R_x \hat x_I + R_y \hat y_I - m g \hat y_I) = (\hat x_B)^T(R_p \hat y_B - m g \hat y_I) = -m g \sin \theta
</math>

上式中用到了在物體移動方向為準的反作用力分量，以及慣性座標下反作用力分量之間的關係。假設中有假設桿無質量，因此桿無法給予垂直桿子的力。慣性座標下的反作用力可以寫成<math>R_p \hat y_B</math>，強調桿只能提供和桿平行的力。因此會產生另外一個方程，可以求解桿上的張力

:<math>
R_p = \sqrt{ R_x^2 + R_y^2}
</math>

等式的右邊也可以用將擺的力加速度和<math>\hat x_B</math>點積的方式計算，結果（經過一些簡化）如下

:<math>
m(\hat x_B)^T(\vec a_{P/I}) = m(\ddot x \cos \theta - \ell \ddot \theta)
</math>

合併左式及右式，並且除以m可得

:<math>
\ell \ddot \theta - g \sin \theta = \ddot x \cos \theta
</math>

此結果也和拉格朗日方程的結果相同，使用牛頓運動定律的好處是知道所有的反作用力，可以確定擺和台車不會因為受力過大而損毀。

====穩定台車倒單擺的方式====
穩定台車倒單擺的方式，可以簡述為下三點。
[[Image:Inverted Pendulum control essentials.JPG|thumb|600px|台車和倒單擺的例子中，簡單的穩定控制系統]]

#若直桿往右傾斜，台車需要往右加速，反之亦然。
#台車相對軌道中心的位置<math> x </math>穩定的方式是是將null angle由台車的位置來進行調整，也就是null angle <math> = \theta + k x </math>，其中<math> k </math>是小的數值。因此桿會輕微的向軌道中心傾斜，若其角度恰好垂直的話，就會穩定在軌道中心。傾斜感測器或是軌道斜率的誤差（本來會造成不穩定的效應）都會變成穩定的位置偏移量，另外增加的偏移量則是為了位置控制。
#正常的擺單擺在角頻率為<math> \omega_p = \sqrt {g/\ell} </math>時會共振。為了避免不受控的晃動，樞紐點需要抑制在共振頻率<math> \omega_p </math>附近的頻率響應。倒單擺也需要類似的帶拒濾波器才能達到穩定。

由於null angle調整策略的結果，正回授的結果為正，若擺突然往右移動，會讓平台的初始速度往左，但之後會往右，以讓倒單擺重新平衡。擺的不穩定性以及正位置回授的不穩定性交互作用，以產生一個穩定的系統，這是倒單擺穩定問題的特徵，也是在數學分炘上有趣而有挑戰性的地方。
[[File:Kapitza pendulum.svg|thumb|upright=0.7|建構卡皮察擺的作法。馬達在高速時旋轉曲柄，曲柄使槓桿上下擺動，槓桿的末端連接倒單擺]]

==卡皮察擺==
<!--{{main|Kapitza's pendulum}}-->
倒單擺若在上下振動的平台上，有可能可以在不受控的情形下穩定，最早研究這種倒單擺的是俄國科學家[[彼得·列昂尼多维奇·卡皮察]]，因此這種擺也稱為[[卡皮察擺]]。在無質量垂直振盪平台上的擺，其運動方程推導方式類似台車上的單擺，點質點的位置為：
:<math>\left( -\ell \sin \theta , y + \ell \cos \theta    \right)</math>
一次微分後可以得到速度：
:<math>v^2=\dot y^2-2 \ell \dot y \dot \theta \sin \theta  + \ell^2\dot \theta ^2.</math>
[[Image:Inverted pendulum oscillatory base.svg|thumb|right|500px|上下振動平台上倒單擺的圖，左圖是慢速振動下的響應，右圖是快速振動下的響應]]

系統的拉格朗日量如下：
:<math>
 L = \frac{1 }{2} m \left ( \dot y^2-2 \ell \dot y \dot \theta \sin \theta  + \ell^2\dot \theta ^2   \right) - m g \left( y + \ell \cos \theta  \right )
</math>
運動方程為：
:<math>
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot \theta}} - {\partial{L}\over \partial \theta} = 0
</math>
結果是：
:<math>
\ell \ddot \theta - \ddot y \sin \theta = g \sin \theta.
</math>
若''y''的運動是[[簡諧運動]]<math>y = A \sin \omega t</math>，則其[[微分方程]]為：
:<math>
\ddot \theta - {g \over \ell} \sin \theta = -{A \over \ell} \omega^2 \sin \omega t \sin \theta.
</math>

此一方程沒有解析解，不過可以用不同方式來求解。若振幅很小時，可以用[[马丢函数]]來近似。分析結果是卡皮察擺在快速振盪時可以穩定。左圖是慢速振盪的圖，在慢速振盪下，單擺很快就倒下，其角度<math>\theta</math>很快就超過90°，表示單擺已倒下。右圖是快速振盪的圖，若<math>y</math>是快速振盪，擺可以穩定在直立狀態下。啟始時倒單擺是在直立狀態（<math>\theta = 0</math>），但擺的角度始終不大，而且擺有倒下。

==倒單擺的種類==
平衡倒單擺是研究者常見的工程挑戰<ref>{{Cite web |url=http://robotics.ee.uwa.edu.au/theses/2003-Balance-Ooi.pdf |title=存档副本 |accessdate=2020-06-15 |archive-date=2020-04-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200415141112/https://robotics.ee.uwa.edu.au/theses/2003-Balance-Ooi.pdf |dead-url=no }}</ref>，有許多不同的變形，從台車上的倒單擺到台車上的多段倒擺（倒複擺）。另外一種變體是將倒單擺或是倒複擺放在旋轉元件的末端。若沒有外力平衡，這些倒擺都會倒下。計劃中的倒單擺可能是在找到平衡位置後要可以維持平衡，或是要可以自行達到平衡狀態。另外一個平台是兩輪平衡的倒單擺。兩輪的倒單擺可以旋轉，可以提供相當的操控性<ref name=calstate>{{Cite web |url=http://csuchico-dspace.calstate.edu/bitstream/handle/10211.4/145/4%2022%2009%20Jose%20Miranda.pdf?sequence=1 |title=Archived copy |access-date=2012-05-01 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304210530/http://csuchico-dspace.calstate.edu/bitstream/handle/10211.4/145/4%2022%2009%20Jose%20Miranda.pdf?sequence=1 |archive-date=2016-03-04 |dead-url=yes }}</ref>。另外一個變體是在單點上的平衡。[[陀螺]]、[[單輪腳踏車]]或是球上的倒單擺都是單點上平衡的例子。如上所述，若在垂直振盪的平面上，倒單擺也可以維持平衡。

==倒單擺的例子==
[[人]]就是平衡倒單擺的例子之一。站著的人就是倒單擺，其腳即為樞紐，若站著的人沒有肌肉持續的微幅施力調整，最後會跌倒。人的神經系統中有無意識的[[反馈]][[控制系統]]、[[平衡感]]或{{le|正位反射|righting reflex}}，用眼睛、肌肉及關節的[[本體感覺]]，以及由[[內耳]]中三個[[半规管]]組成[[前庭系统]]所得的方向輸入、或是利用[[耳石]]的輸入，持續的對骨骼肌小幅調整施力，以維持直立。走路、跑步或是單腳站立都需要此系統的調節。有些疾病、酒精或是藥物中毒會影響此一反射，造成[[頭暈]]或無法自行站立平衡。警察在測試駕駛者是否有受到酒精或是藥物影響的{{le|現場清醒測試|field sobriety test}}就是確認此反射是否有問題。

像用手平衡直立在手上的掃把或是直尺，也是倒單擺的例子。
 
有許多的設備中有用到倒單擺，倒單擺的平衡也是研究者探討的工程問題之一<ref name=calstate/>。倒單擺本身不穩定的特性，略有一些擾動，就會有明顯的響應，因此也是早期[[地震儀]]中的關鍵元件之一<ref>{{Cite web |url=https://earthquake.usgs.gov/learn/topics/seismology/history/part12.php |title=存档副本 |accessdate=2020-06-15 |archive-date=2016-08-27 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160827025557/http://earthquake.usgs.gov/learn/topics/seismology/history/part12.php |dead-url=no }}</ref>。

很多現代的{{le|個人運輸工具|personal transporter}}中也有用到倒單擺的概念，例如二輪的[[自平衡滑行车]]以及單輪的{{le|電子單輪車|electric unicycle}}。這些設備有動力學不穩定的特性，需要透過電子回授配合[[伺服機構]]使其直立。

讓台車上的單擺由單擺往下的穩定狀態，擺動到倒單擺的狀態，是[[最佳控制]]的典型[[玩具問題]]之一<ref>{{Cite web|url=https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-832-underactuated-robotics-spring-2009/readings/MIT6_832s09_read_ch03.pdf|title=The Acrobot and Cart-Pole|last=|first=|date=|website=|archive-url=https://web.archive.org/web/20190819204852/https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-832-underactuated-robotics-spring-2009/readings/MIT6_832s09_read_ch03.pdf|archive-date=2019-08-19|access-date=|dead-url=no}}</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.cs.huji.ac.il/~ai/projects/2017/learning/Cart-pole-swing-up/|title=Cart-Pole Swing-Up|website=www.cs.huji.ac.il|access-date=2019-08-19|archive-date=2019-08-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20190819204850/http://www.cs.huji.ac.il/~ai/projects/2017/learning/Cart-pole-swing-up/|dead-url=no}}</ref>
[[File:Cart-pole swing up.gif|thumb|台車單擺系統，由單擺往下的穩定狀態，擺動到倒單擺的狀態，力平方值最小化的軌跡]]

==相關條目==
*[[倒雙擺]]
*{{le|慣性輪單擺|Inertia wheel pendulum}}
*{{le|Furuta摆|Furuta pendulum}}
*{{le|iBOT|iBOT}}
*[[類人型機器人]]
*{{le|Ballbot|Ballbot}}

==參考資料==
{{Reflist}}

*D. Liberzon ''Switching in Systems and Control'' (2003 Springer) pp.&nbsp;89ff

== 延伸閱讀 ==
* Franklin; et al. (2005). Feedback control of dynamic systems, 5, Prentice Hall. {{ISBN|0-13-149930-0}}

==外部連結==
* [https://www.youtube.com/watch?v=-vpc-mt_wPg YouTube - Inverted Pendulum - Demo #3 ] {{Wayback|url=https://www.youtube.com/watch?v=-vpc-mt_wPg |date=20201005194855 }}
* [https://www.youtube.com/watch?v=MWJHcI7UcuE YouTube - inverted pendulum] {{Wayback|url=https://www.youtube.com/watch?v=MWJHcI7UcuE |date=20200803232236 }}
* [https://www.youtube.com/watch?v=B6vr1x6KDaY YouTube - Double Pendulum on a Cart] {{Wayback|url=https://www.youtube.com/watch?v=B6vr1x6KDaY |date=20190610213003 }}
* [https://www.youtube.com/watch?v=cyN-CRNrb3E YouTube - Triple Pendulum on a Cart] {{Wayback|url=https://www.youtube.com/watch?v=cyN-CRNrb3E |date=20201123153846 }}
* [http://mw.concord.org/modeler1.3/mirror/mechanics/inversependulum.html A dynamical simulation of an inverse pendulum on an oscillatory base] {{Wayback|url=http://mw.concord.org/modeler1.3/mirror/mechanics/inversependulum.html |date=20190913214541 }}
* [https://web.archive.org/web/20180827104512/http://www.engr.usask.ca/classes/EE/480/Inverted%20Pendulum.pdf Inverted Pendulum: Analysis, Design, and Implementation]
* [http://lars.mec.ua.pt/public/LAR%20Projects/Humanoid/2006_MiltonRuas-Projecto/Simuladores/Pendulo%20Invertido/bugeja.pdf Non-Linear Swing-Up and Stabilizing Control of an Inverted Pendulum System] {{Wayback|url=http://lars.mec.ua.pt/public/LAR%20Projects/Humanoid/2006_MiltonRuas-Projecto/Simuladores/Pendulo%20Invertido/bugeja.pdf |date=20170811214816 }}
* [http://neuron.tuke.sk/~vascak/predmety/FSR/Eseje/Seliga%20-%20Stabilization%20fuzzy%20control%20of%20inverted%20pendulum%20systems.pdf Stabilization fuzzy control of inverted pendulum systems]{{Dead link|date=January 2020 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
* [https://mpatacchiola.github.io/blog/2017/08/14/dissecting-reinforcement-learning-6.html Blog post on inverted pendulum, with Python code] {{Wayback|url=https://mpatacchiola.github.io/blog/2017/08/14/dissecting-reinforcement-learning-6.html |date=20201101165736 }}
* [https://sharpneat.sourceforge.io/research/cart-pole/cart-pole-equations.html Equations of Motion for the Cart and Pole Control Task] {{Wayback|url=https://sharpneat.sourceforge.io/research/cart-pole/cart-pole-equations.html |date=20200606132410 }}

{{DEFAULTSORT:Inverted Pendulum}}
[[Category:摆]]
[[Category:控制工程]]
[[Category:機械學習任務]]