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{{NoteTA|G1=物理學}}
{{物理算符}}
在[[量子力學]]裏，'''位置算符'''（{{lang|en|position operator}}）是一種[[算符|量子算符]]。對應於位置算符的[[可觀察量]]是粒子的位置。位置算符的本徵值是[[位置向量]]。採用[[狄拉克標記]]，位置算符 <math>\hat{x}</math> 的本徵態 <math>|x\rang</math> 滿足方程式
:<math>\hat{x}|x\rang=x|x\rang</math> ；

其中，<math>x</math> 是本徵值，是量子態為 <math>|x\rang</math> 的粒子所處的位置，<math>x</math> 只是一個數值。

==位置空間表現==
設定量子態 <math>|\Psi\rang=\hat{x}|\psi \rang </math> 。量子態 <math>|\Psi\rang</math> 、<math>|\psi\rang</math> 的位置空間表現，即[[波函數]]，分別定義為
:<math>\Psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\Psi\rang</math> 、
:<math>\psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\psi\rang</math> 。

在位置空間裡，定義算符 <math>\hat{\mathfrak{x}}</math> 為
:<math>\hat{\mathfrak{x}}\psi(x)\ \stackrel{def}{=}\  x\psi(x)</math> 。

在位置空間裡，使用連續本徵態 <math>|x'\rang</math> 所組成的基底，任意[[量子態]] <math>|\psi\rang</math> 展開為
:<math>|\psi \rang = \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\   |x'\rang\lang x'|\psi\rang</math> 。

將量子算符 <math>\hat{x}</math> 作用於量子態 <math>|\psi\rang</math> ，可以得到
:<math>\hat{x}|\psi \rang =\hat{x} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\   |x'\rang\lang x'|\psi\rang
 =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\  x' |x'\rang\lang x'|\psi\rang
=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\  x' \psi(x')|x'\rang
=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ \hat{\mathfrak{x}}\psi(x') |x'\rang
</math> 。

應用[[正交歸一性|狄拉克正交歸一性]]，<math>\lang x|x'\rang
=\delta(x-x')</math> ，這方程式與左矢 <math>\lang x|</math> 的內積為
:<math>\lang x|\hat{x}|\psi \rang =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\  \hat{\mathfrak{x}}\psi(x') \lang x|x'\rang
=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\  \hat{\mathfrak{x}}\psi(x') \delta(x-x')
=\hat{\mathfrak{x}}\psi(x) </math> 。

量子態 <math>|\Psi\rang</math> 的展開式為
:<math>\Psi \rang =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\   |x'\rang\lang x'|\Psi\rang
=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\  \Psi(x')|x'\rang
</math> 。

應用[[正交歸一性|狄拉克正交歸一性]]，這方程式與左矢 <math>\lang x|</math> 的內積為
:<math>\lang x|\Psi \rang =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\  \Psi(x')\lang x|x'\rang
=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\  \Psi(x') \delta(x-x')
=\Psi(x) </math> 。

所以，兩個波函數 <math>\Psi(x)</math> 、<math>\psi(x)</math> 之間的關係為
:<math>\Psi(x)=\hat{\mathfrak{x}}\psi(x)</math> 。

總結，位置算符 <math>\hat{x}</math> 作用於量子態 <math>|\psi\rang</math> 的結果 <math>|\Psi\rang</math> ，表現於位置空間，等價於波函數 <math>\psi(x)</math> 與 <math>x</math> 的乘積 <math>\Psi(x)</math> 。位置算符 <math>\hat{x}</math> 的位置空間表現是位算符 <math>\hat{\mathfrak{x}}</math> ，可以稱算符 <math>\hat{\mathfrak{x}}</math> 為位置算符。

==本徵函數==
假設，在位置空間裡，位置算符 <math>\hat{\mathfrak{x}}</math> 的[[本徵值]]為 <math>q</math> 的[[本徵函數]]是 <math>g_q(x)</math> 。用方程式表達，<ref>{{cite book | author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) | publisher=Prentice Hall |year=2004 |id=ISBN 0-13-111892-7|pages=pp. 17, 104-109}}</ref>
:<math>\hat{\mathfrak{x}}g_q(x)=q g_q(x)</math> 。

這方程式的一般解為，
:<math>g_q(x)=g_0 \delta(x - q)</math> ；

其中，<math>g_0</math> 是常數，<math>\delta(x - q)</math> 是[[狄拉克δ函數]]。

注意到 <math>g_q(x)</math> 無法[[歸一化]]：
:<math>\int_{ - \infty}^{\infty}\ g_q^*(x)g_q(x)\ dx=|g_0|^2 \int_{ - \infty}^{\infty}\ \delta^2(x - q)\ dx=\mbox{?}</math> 。

設定 <math>g_0=1</math> ，函數 <math>g_q(x)</math> 滿足下述方程式：
:<math>\int_{ - \infty}^{\infty}\ g_{q1}^*(x)g_{q2}(x)\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \delta(x - q1)\delta(x - q2)\ dx=\delta(q1-q2)</math> 。

這性質不是普通的[[正交歸一性]]，這性質稱為[[正交歸一性|狄拉克正交歸一性]]。因為這性質，位置算符的本徵函數具有[[完備性]]，也就是說，任意波函數 <math>\psi(x)</math> 都可以表達為本徵函數的[[線性組合]]：
:<math>\psi(x)=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi(q)g_{q}(x)\ dq</math> 。

雖然本徵函數 <math>g_q(x)</math> 所代表的量子態是無法實際體現的，並且嚴格而論，不是一個函數，它可以視為代表一種理想量子態，這種理想量子態具有準確的位置 <math>q</math> ，因此，根據[[不確定性原理]]，這種理想量子態的[[動量]]呈[[均勻分佈]]。

==期望值==
採用位置空間表現，設想一個移動於一維空間的量子粒子。在這裏，希爾伯特空間是 <math>\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R})</math> ，是實值[[定義域]]的[[平方可積函數]]的空間。<ref name=Sakurai>{{Citation  | last1 = Sakurai  | first1 = J. J.  |last2 = Napolitano  | first2 = Jim  | title = Modern Quantum Mechanics  | edition = 2nd  | publisher = Addison-Wesley  | year = 2010| isbn =978-0805382914  }}</ref>{{rp|11}}兩個態向量的內積是 
:<math>\lang \psi_1| \psi_2 \rang = \int_{ - \infty}^{\infty}\psi_1^*(x)\psi_2(x) \, \mathrm{d}x</math> 。

對於任意量子態 <math>\psi</math> ，可觀察量 <math>x</math> 的期望值為
: <math> \lang x \rang\ \stackrel{def}{=}\ \lang \psi | \hat{x} |\psi \rang </math> 。

位置算符 <math>\hat{x}</math> 作用於量子態 <math>|\psi\rang</math> 的結果，表現於位置空間，等價於波函數 <math>\psi(x)</math> 與 <math>x</math> 的乘積，所以，
: <math> \lang x \rang =\int_{ - \infty}^{\infty}  \psi^\ast (x) \, x \, \psi(x) \, \mathrm{d}x
= \int_{ - \infty}^{\infty}  x \, |\psi(x)|^2 \, \mathrm{d}x </math> 。

粒子處於 <math>x</math> 與 <math>x+dx</math> 微小區間內的機率是
:<math> p(x) \mathrm{d}x = \psi^*(x)\psi(x) \mathrm{d}x</math> 。

粒子位置與機率的乘積在位置空間的積分，就是粒子位置的期望值。

==三維案例==
推廣至三維空間相當直截了當，參數為三維位置 <math>\mathbf{r}</math> 的波函數為 <math> \psi(\mathbf{r}) </math> ，位置的[[期望值]]為<ref name=Sakurai/>{{rp|41-42}}
:<math> \langle \mathbf{r} \rangle = \int_{\mathbb{V}} \mathbf{r} |\psi(\mathbf{r})|^2 \mathrm{d}^3  \mathbf{r} </math> ；

其中，<math>\mathbb{V}</math> 是積分體積。

位置算符 <math>\mathbf{\hat{\mathfrak{r}}}</math> 的作用為
:<math>\mathbf{\hat{\mathfrak{r}}}\psi=\mathbf{r}\psi</math> 。

==對易關係==
位置算符與動量算符的[[對易算符]]，當作用於波函數時，會得到一個簡單的結果：
:<math>[\hat{x},\ \hat{p}]\psi=(\hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x})\psi=x\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x} - \frac{\hbar}{i}\frac{\partial (x\psi)}{\partial x}=i\hbar\psi</math> 。

所以，<math>[\hat{x},\ \hat{p}]=i\hbar</math> 。這關係稱為位置算符與動量算符的[[對易關係]]。由於兩者的對易關係不等於 0 ，位置與動量彼此是[[可觀察量#不相容可觀察量|不相容可觀察量]]。<math>\hat{x}</math> 與 <math>\hat{p}</math> 絕對不會擁有共同的基底量子態。一般而言，<math>\hat{x}</math> 的本徵態與 <math>\hat{p}</math> 的本徵態不同。

根據[[不確定性原理]]，
:<math>\Delta A\ \Delta B \ge \left|\frac{\langle[ A,\ B]\rangle}{2i}\right| </math> 。

由於 <math>x</math> 與 <math>p</math> 是兩個不相容可觀察量，<math>\left|\frac{\langle[\hat{x},\ \hat{p}]\rangle}{2i}\right| =\hbar/2</math> 。所以，<math>x</math> 的不確定性與 <math>p</math> 的不確定性的乘積 <math>\Delta x\ \Delta p </math> ，必定大於或等於 <math>\hbar/2</math> 。

==參考文獻==
{{reflist}}

[[Category:物理算符|W]]