位置算符

Template:NoteTA Template:物理算符 在量子力學裏，位置算符（Template:Lang）是一種量子算符。對應於位置算符的可觀察量是粒子的位置。位置算符的本徵值是位置向量。採用狄拉克標記，位置算符 $\hat{x}$ 的本徵態 $|x⟩$ 滿足方程式

$\hat{x}|x⟩=x|x⟩$ ；

其中，$x$ 是本徵值，是量子態為 $|x⟩$ 的粒子所處的位置，$x$ 只是一個數值。

位置空間表現

設定量子態 $|\mathrm{\Psi }⟩=\hat{x}|\psi ⟩$ 。量子態 $|\mathrm{\Psi }⟩$ 、$|\psi ⟩$ 的位置空間表現，即波函數，分別定義為

$\mathrm{\Psi }(x)\stackrel{def}{=}⟨x|\mathrm{\Psi }⟩$ 、

$\psi (x)\stackrel{def}{=}⟨x|\psi ⟩$ 。

在位置空間裡，定義算符 $\widehat{𝔵}$ 為

$\widehat{𝔵}\psi (x)\stackrel{def}{=}x\psi (x)$ 。

在位置空間裡，使用連續本徵態 $|x^{\prime }⟩$ 所組成的基底，任意量子態 $|\psi ⟩$ 展開為

$|\psi ⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}{x}^{\prime }|x^{\prime }⟩⟨x^{\prime }|\psi ⟩$ 。

將量子算符 $\hat{x}$ 作用於量子態 $|\psi ⟩$ ，可以得到

$\hat{x}|\psi ⟩=\hat{x}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}{x}^{\prime }|x^{\prime }⟩⟨x^{\prime }|\psi ⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}{x}^{\prime }{x}^{\prime }|x^{\prime }⟩⟨x^{\prime }|\psi ⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}{x}^{\prime }{x}^{\prime }\psi (x^{\prime })|x^{\prime }⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}{x}^{\prime }\widehat{𝔵}\psi (x^{\prime })|x^{\prime }⟩$ 。

應用狄拉克正交歸一性，$⟨x|x^{\prime }⟩=\delta (x-x^{\prime })$ ，這方程式與左矢 $⟨x|$ 的內積為

$⟨x|\hat{x}|\psi ⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}{x}^{\prime }\widehat{𝔵}\psi (x^{\prime })⟨x|x^{\prime }⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}{x}^{\prime }\widehat{𝔵}\psi (x^{\prime })\delta (x-x^{\prime })=\widehat{𝔵}\psi (x)$ 。

量子態 $|\mathrm{\Psi }⟩$ 的展開式為

$\mathrm{\Psi }⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}{x}^{\prime }|x^{\prime }⟩⟨x^{\prime }|\mathrm{\Psi }⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}{x}^{\prime }\mathrm{\Psi }(x^{\prime })|x^{\prime }⟩$ 。

應用狄拉克正交歸一性，這方程式與左矢 $⟨x|$ 的內積為

$⟨x|\mathrm{\Psi }⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}{x}^{\prime }\mathrm{\Psi }(x^{\prime })⟨x|x^{\prime }⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}{x}^{\prime }\mathrm{\Psi }(x^{\prime })\delta (x-x^{\prime })=\mathrm{\Psi }(x)$ 。

所以，兩個波函數 $\mathrm{\Psi }(x)$ 、$\psi (x)$ 之間的關係為

$\mathrm{\Psi }(x)=\widehat{𝔵}\psi (x)$ 。

總結，位置算符 $\hat{x}$ 作用於量子態 $|\psi ⟩$ 的結果 $|\mathrm{\Psi }⟩$ ，表現於位置空間，等價於波函數 $\psi (x)$ 與 $x$ 的乘積 $\mathrm{\Psi }(x)$ 。位置算符 $\hat{x}$ 的位置空間表現是位算符 $\widehat{𝔵}$ ，可以稱算符 $\widehat{𝔵}$ 為位置算符。

本徵函數

假設，在位置空間裡，位置算符 $\widehat{𝔵}$ 的本徵值為 $q$ 的本徵函數是 $g_q(x)$ 。用方程式表達，

$\widehat{𝔵}{g}_q(x)=q{g}_q(x)$ 。

這方程式的一般解為，

$g_q(x)=g_0\delta (x-q)$ ；

其中，$g_0$ 是常數，$\delta (x-q)$ 是狄拉克δ函數。

注意到 $g_q(x)$ 無法歸一化：

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{g}_q^{*}(x)g_q(x)dx=|g_0{|}^2\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\delta }^2(x-q)dx=\text{?}$ 。

設定 $g_0=1$ ，函數 $g_q(x)$ 滿足下述方程式：

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{g}_{q1}^{*}(x)g_{q2}(x)dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (x-q1)\delta (x-q2)dx=\delta (q1-q2)$ 。

這性質不是普通的正交歸一性，這性質稱為狄拉克正交歸一性。因為這性質，位置算符的本徵函數具有完備性，也就是說，任意波函數 $\psi (x)$ 都可以表達為本徵函數的線性組合：

$\psi (x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\psi (q)g_q(x)dq$ 。

雖然本徵函數 $g_q(x)$ 所代表的量子態是無法實際體現的，並且嚴格而論，不是一個函數，它可以視為代表一種理想量子態，這種理想量子態具有準確的位置 $q$ ，因此，根據不確定性原理，這種理想量子態的動量呈均勻分佈。

期望值

採用位置空間表現，設想一個移動於一維空間的量子粒子。在這裏，希爾伯特空間是 $\mathscr{H}=L^2(ℝ)$ ，是實值定義域的平方可積函數的空間。Template:Rp兩個態向量的內積是

$⟨{\psi }_1|{\psi }_2⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\psi }_1^{*}(x){\psi }_2(x)\mathrm{d}x$ 。

對於任意量子態 $\psi$ ，可觀察量 $x$ 的期望值為

$⟨x⟩\stackrel{def}{=}⟨\psi |\hat{x}|\psi ⟩$ 。

位置算符 $\hat{x}$ 作用於量子態 $|\psi ⟩$ 的結果，表現於位置空間，等價於波函數 $\psi (x)$ 與 $x$ 的乘積，所以，

$⟨x⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\psi }^{\ast }(x)x\psi (x)\mathrm{d}x=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x|\psi (x){|}^2\mathrm{d}x$ 。

粒子處於 $x$ 與 $x+dx$ 微小區間內的機率是

$p(x)\mathrm{d}x={\psi }^{*}(x)\psi (x)\mathrm{d}x$ 。

粒子位置與機率的乘積在位置空間的積分，就是粒子位置的期望值。

三維案例

推廣至三維空間相當直截了當，參數為三維位置 $𝐫$ 的波函數為 $\psi (𝐫)$ ，位置的期望值為Template:Rp

$⟨𝐫⟩=\underset{𝕍}{\int }𝐫|\psi (𝐫){|}^2{\mathrm{d}}^3𝐫$ ；

其中，$𝕍$ 是積分體積。

位置算符 $\widehat{𝔯}$ 的作用為

$\widehat{𝔯}\psi =𝐫\psi$ 。

對易關係

位置算符與動量算符的對易算符，當作用於波函數時，會得到一個簡單的結果：

$[\hat{x},\hat{p}]\psi =(\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x})\psi =x\frac{\hslash }{i}\frac{\partial \psi }{\partial x}-\frac{\hslash }{i}\frac{\partial (x\psi )}{\partial x}=i\hslash \psi$ 。

所以，$[\hat{x},\hat{p}]=i\hslash$ 。這關係稱為位置算符與動量算符的對易關係。由於兩者的對易關係不等於 0 ，位置與動量彼此是不相容可觀察量。$\hat{x}$ 與 $\hat{p}$ 絕對不會擁有共同的基底量子態。一般而言，$\hat{x}$ 的本徵態與 $\hat{p}$ 的本徵態不同。

根據不確定性原理，

$\mathrm{\Delta }A\mathrm{\Delta }B\ge \left|\frac{⟨[A,B]⟩}{2i}\right|$ 。

由於 $x$ 與 $p$ 是兩個不相容可觀察量，$\left|\frac{⟨[\hat{x},\hat{p}]⟩}{2i}\right|=\hslash /2$ 。所以，$x$ 的不確定性與 $p$ 的不確定性的乘積 $\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p$ ，必定大於或等於 $\hslash /2$ 。