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在[[範疇論]]中，函子<math>F, G</math>若滿足<math>\mathrm{Hom}(F(-),-) = \mathrm{Hom}(-,G(-))</math>，則稱之為一對'''伴隨函子'''，其中<math>G</math>稱為<math>F</math>的'''右伴隨函子'''，而<math>F</math>是<math>G</math>的'''左伴隨函子'''。伴隨函子在範疇論中是個極基本而有用的概念。

== 定義 ==
設<math>F: \mathcal{C}_1 \to \mathcal{C}_2, \; G: \mathcal{C}_2 \to \mathcal{C}_1</math>為函子，若存在[[雙函子]]的同構
: <math>\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_2}(F(-),-) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_1}(-,G(-))</math>
則稱<math>F, G</math>為一對'''伴隨函子'''，<math>G</math>稱為<math>F</math>的'''右伴隨函子'''，而<math>F</math>是<math>G</math>的'''左伴隨函子'''。

上述同構進一步給出兩個同構
: <math>\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_2}(F \circ G(-),-) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_1}(G(-), G(-))</math>
: <math>\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_2}(F(-), F(-)) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_1}(-, G \circ F(-))</math>

分別在同構的左右兩側置<math>\mathrm{id}_{F(-)}</math>與<math>\mathrm{id}_{G(-)}</math>，遂得到函子間的態射（即[[自然變換]]）：
: <math>\mathrm{id}_{\mathcal{C}_1} \to G \circ F \quad</math>（'''單位'''）
: <math>F \circ G \to \mathrm{id}_{\mathcal{C}_2} \quad</math>（'''上單位'''）

定義中的雙函子同構由單位與上單位唯一決定。

== 正合性 ==
设<math>F, G</math>是一對伴隨函子，若<math>F</math>為右正合则<math>G</math>為左正合；此命題可由[[正合函子]]與[[極限 (範疇論)|極限]]的定義直接導出。

== 例子 ==
伴隨函子在數學中處處可見，以下僅舉出幾個例子：
* [[自由對象]]與[[遺忘函子]]是一對伴隨函子，舉[[群]]範疇為例，此時單位態射不外是集合<math>X</math>到它生成的[[自由群]]<math>F(X)</math>的包含映射。
* [[積 (範疇論)|積]]與{{link-en|對角函子|Diagonal functor}}。
* 設<math>R</math>為[[环 (代数)|環]]，<math>M</math>為右<math>R</math>-模，則<math>M \otimes_R - : _R\mathbf{Mod} \to \mathbf{Ab}</math>與<math>\mathrm{Hom}_\Z (-,M): \mathbf{Ab} \to _R\mathbf{Mod}</math>為一對伴隨函子。當<math>R</math>可交換時，上式的<math>\Z</math>可代為<math>R</math>，<math>\mathbf{Ab}</math>可代為<math>_R\mathbf{Mod}</math>。
* [[層 (數學)|層]]的正像與逆像。
* [[群表示理論]]中的'''弗羅貝尼烏斯互反定理'''（詳閱{{link-en|誘導表示|Induced representation}}）。 

== 文獻 ==
* Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, ''Categories and Sheaves'', Springer. ISBN 3-540-27949-0

== 外部連結 ==
* [https://web.archive.org/web/20070710013127/http://www.institut.math.jussieu.fr/%7Eschapira/polycopies/Cat.pdf Pierre Schapira, Categories and Homological Algebra]

{{範疇論}}
[[Category:函子]]