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'''伴随勒让德多项式'''（'''Associated Legendre polynomials'''，又译'''缔合勒让德多项式'''、'''连带勒让德多项式'''、'''关联勒让德多项式'''）<ref>{{cite book|title=数学物理方法（第二版）|url=https://archive.org/details/generalhigheredu0000unse_x6b5|author=吴崇试|isbn=9787301068199|publisher=[[北京大学出版社]]|origyear=2003|chapter=16}}</ref>是[[数学]]上对如下形式[[常微分方程]]解[[函数]]序列的称呼：
:<math>(1-x^2)\,\frac{d^2\,y}{dx^2} -2x\frac{dy}{dx} + \left(\ell[\ell+1] - \frac{m^2}{1-x^2}\right)\,y = 0</math>
该方程是在[[球坐标系]]下求解[[拉普拉斯方程]]时得到的，在数学和[[理论物理学]]中有重要的意义。

[[File:Associated Legendre Poly.svg|thumb|400px|{{mvar|l}}=5时连带勒让德多项式的图像]]

因上述方程仅当 <math>\ell</math> 和 <math>m\,</math> 均为[[整数]]且满足 <math>0 \le m \le \ell</math> 时，才在区间 [&minus;1,&nbsp;1] 上有非奇异解，所以通常把 <math>\ell</math> 和 <math>m\,</math> 均为整数时方程的解称为'''伴随勒让德多项式'''；把 <math>\ell</math> 和/或 <math>m\,</math> 为一般[[实数]]或[[复数 (数学)|复数]]时方程的解称为'''广义勒让德函数'''（'''generalized Legendre functions'''）。

当 <math>m\,= 0</math>、<math>\ell</math>为整数时，方程的解即为一般的[[勒让德多项式]]。

注意当 {{mvar|m}} 为[[奇数]]时，连带勒让德多项式并不是[[多项式]]。

== 正交性 ==
与勒让德多项式一样，连带勒让德多项式在区间 [-1,1] 上也满足正交性。
:<math>\int_{-1}^{1} P_l^m(x) P_k^m(x)\mathrm dx = \frac{(l+m)!}{(l-m)!}\frac 2{2l+1}\delta_{kl}</math>

这是因为，与勒让德方程一样，连带勒让德方程也是[[施图姆-刘维尔理论|施图姆-刘维尔型]]的：
:<math>\left\{\frac{m^2}{1-x^2}-\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[(1-x^2)\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right]\right\}P_l^m(x)=\lambda P_l^m(x),\quad \lambda=l(l+1),l\in\mathbb Z_0^+</math>

正交性的另一种表述如下，它与下面提到的球谐函数有关。
:<math>\int_{0}^\pi P_l^m(\cos\theta) P_k^m(\cos\theta)\sin\theta\mathrm d\theta = \frac{(l+m)!}{(l-m)!}\frac 2{2l+1}\delta_{kl}</math>

== 与勒让德多项式的关系 ==
连带勒让德多项式可以由勒让德多项式求 {{mvar|m}} 次导得到：
:<math>P_l^m(x)=(1-x^2)^{m/2}P_l^{(m)}(x)</math>

等号右边的上标 ({{mvar|m}}) 表示求 {{mvar|m}} 次导。

== 与超几何函数的关系 ==
连带勒让德函数（即 {{mvar|l}}, {{mvar|m}} 不一定要是整数）可以用高斯[[超几何函数]]表达为：
:<math>P_\nu^\mu(z)=\frac1{\Gamma(1-\mu)}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{\mu/2}\,_2F_1(-\nu,\nu+1,1-\mu,\frac{1-z}2)</math>

注意 {{mvar|μ}} 为正整数 {{mvar|m}} 时 1-{{mvar|μ}} 是[[伽玛函数]]的奇点，此时等号右边的式子应该理解为当 {{mvar|μ}} 趋于 {{mvar|m}} 时的极限。

== 负数阶连带勒让德多项式 ==
显然连带勒让德方程在变换 {{mvar|m}}→-{{mvar|m}} 下保持不变，传统上习惯定义负数阶连带勒让德多项式为：
:<math>P_l^{-m}(x)=(-1)^m\frac{(l-m)!}{(l+m)!}P_l^m(x),\quad m=1,\ldots,l;l\in\mathbb Z^+</math>

容易验证，这样定义的连带勒让德多项式能够使得上面的正交关系可以推广到 {{mvar|m}} 为负数的情况。

注意在个别文献（如上面的图，以及[[球谐函数]]一文）中会直接取
:<math>P_l^{-m}(x)=P_l^m(x)</math>

本文不采用这种定义。

== 与球谐函数的关系 ==
{{main|球谐函数}}
球谐函数是[[球坐标]]下三维空间[[拉普拉斯方程]]的角度部分的解，构成一组完备的基组，有着重要的意义。

采用本文中定义的连带勒让德多项式的表达式，球谐函数可以表达为：
:<math>Y_l^m(\theta,\phi)=\sqrt{\frac{(l-m)!}{(l+m)!}\frac{2l+1}{4\pi}}P_l^m(\cos\theta)e^{im\phi}</math>

由连带勒让德多项式的正交关系可以直接得到球谐函数的正交关系：
:<math>\int Y_l^m(\theta,\phi)Y_{k}^{n*}(\theta,\phi)\mathrm d\Omega=\delta_{kl}\delta_{mn}</math>

式中 d{{mvar|Ω}} 是[[立体角]]元。

== 参考文献 ==
<references />
*{{dlmf|first=T. M. |last=Dunster|id=14|title=Legendre and Related Functions}}

[[Category:数学物理|B]]
[[Category:微分方程|B]]
[[Category:正交多项式|B]]