伴随勒让德多项式

伴随勒让德多项式（Associated Legendre polynomials，又译缔合勒让德多项式、连带勒让德多项式、关联勒让德多项式）是数学上对如下形式常微分方程解函数序列的称呼：

$(1-x^2)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-2x\frac{dy}{dx}+(\ell [\ell +1]-\frac{m^2}{1-x^2})y=0$

该方程是在球坐标系下求解拉普拉斯方程时得到的，在数学和理论物理学中有重要的意义。

Template:Mvar=5时连带勒让德多项式的图像

因上述方程仅当 $\ell$ 和 $m$ 均为整数且满足 $0\le m\le \ell$ 时，才在区间 [−1, 1] 上有非奇异解，所以通常把 $\ell$ 和 $m$ 均为整数时方程的解称为伴随勒让德多项式；把 $\ell$ 和/或 $m$ 为一般实数或复数时方程的解称为广义勒让德函数（generalized Legendre functions）。

当 $m=0$、$\ell$为整数时，方程的解即为一般的勒让德多项式。

注意当 Template:Mvar 为奇数时，连带勒让德多项式并不是多项式。

正交性

与勒让德多项式一样，连带勒让德多项式在区间 [-1,1] 上也满足正交性。

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_l^m(x)P_k^m(x)\mathrm{d}x=\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\frac{2}{2l+1}{\delta }_{kl}$

这是因为，与勒让德方程一样，连带勒让德方程也是施图姆-刘维尔型的：

$\{\frac{m^2}{1-x^2}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[(1-x^2)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}]\}{P}_l^m(x)=\lambda P_l^m(x),\lambda =l(l+1),l\in {\mathbb{Z}}_0^{+}$

正交性的另一种表述如下，它与下面提到的球谐函数有关。

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{P}_l^m(\cos \theta )P_k^m(\cos \theta )\sin \theta \mathrm{d}\theta =\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\frac{2}{2l+1}{\delta }_{kl}$

与勒让德多项式的关系

连带勒让德多项式可以由勒让德多项式求 Template:Mvar 次导得到：

$P_l^m(x)=(1-x^2{)}^{m/2}{P}_l^{(m)}(x)$

等号右边的上标 (Template:Mvar) 表示求 Template:Mvar 次导。

与超几何函数的关系

连带勒让德函数（即 Template:Mvar, Template:Mvar 不一定要是整数）可以用高斯超几何函数表达为：

$P_{\nu }^{\mu }(z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-\mu )}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^{\mu /2}{}_2{F}_1(-\nu ,\nu +1,1-\mu ,\frac{1-z}{2})$

注意 Template:Mvar 为正整数 Template:Mvar 时 1-Template:Mvar 是伽玛函数的奇点，此时等号右边的式子应该理解为当 Template:Mvar 趋于 Template:Mvar 时的极限。

负数阶连带勒让德多项式

显然连带勒让德方程在变换 Template:Mvar→-Template:Mvar 下保持不变，传统上习惯定义负数阶连带勒让德多项式为：

$P_l^{-m}(x)=(-1{)}^m\frac{(l-m)!}{(l+m)!}{P}_l^m(x),m=1,\dots ,l;l\in {\mathbb{Z}}^{+}$

容易验证，这样定义的连带勒让德多项式能够使得上面的正交关系可以推广到 Template:Mvar 为负数的情况。

注意在个别文献（如上面的图，以及球谐函数一文）中会直接取

$P_l^{-m}(x)=P_l^m(x)$

本文不采用这种定义。

与球谐函数的关系

Template:Main 球谐函数是球坐标下三维空间拉普拉斯方程的角度部分的解，构成一组完备的基组，有着重要的意义。

采用本文中定义的连带勒让德多项式的表达式，球谐函数可以表达为：

$Y_l^m(\theta ,\varphi )=\sqrt{\frac{(l-m)!}{(l+m)!}\frac{2l+1}{4\pi }}{P}_l^m(\cos \theta )e^{im\varphi }$

由连带勒让德多项式的正交关系可以直接得到球谐函数的正交关系：

$\int Y_l^m(\theta ,\varphi )Y_k^{n*}(\theta ,\varphi )\mathrm{d}\mathrm{\Omega }={\delta }_{kl}{\delta }_{mn}$

式中 dTemplate:Mvar 是立体角元。

参考文献

• Template:Dlmf