查看“︁伯努利数”︁的源代码

{| class=wikitable style="text-align: center; float:right; clear:right; margin-left:1em;"
|-
! {{mvar|n}} !! {{math|''B''{{su|p=±|b=''n''}}}}
|-
| 0 || 1
|-
| 1 || ±{{sfrac|1|2}} 
|-
| 2 || {{sfrac|1|6}} 
|- style="background:#ABE"
| 3 || 0 
|-
| 4 || −{{sfrac|1|30}} 
|- style="background:#ABE"
| 5 || 0 
|-
| 6 || {{sfrac|1|42}} 
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| 7 || 0 
|-
| 8 || −{{sfrac|1|30}} 
|- style="background:#ABE"
| 9 || 0 
|-
| 10 || {{sfrac|5|66}} 
|- style="background:#ABE"
| 11 || 0 
|-
| 12 || −{{sfrac|691|2730}} 
|- style="background:#ABE"
| 13 || 0 
|-
| 14 || {{sfrac|7|6}} 
|- style="background:#ABE"
| 15 || 0 
|-
| 16 || −{{sfrac|3617|510}} 
|- style="background:#ABE"
| 17 || 0 
|-
| 18 || {{sfrac|43867|798}} 
|- style="background:#ABE"
| 19 || 0 
|-
| 20 || −{{sfrac|174611|330}} 
|}{{noteTA|G1=Math|G2=物理學
|T=zh-hans:伯努利数;zh-hant:白努利數}}
[[数学|數學]]上，白努利數 {{math|''B''<sub>''n''</sub>}} 是一個與[[数论|數論]]有密切關聯的有理數序列。前幾項被發現的白努利數分別為：
: {{math|1=''B''<sub>0</sub> = 1}}, {{math|1=''B''{{su|p=±|b=1}} = ± {{sfrac|1|2}}}}, {{math|1=''B''<sub>2</sub> = {{sfrac|1|6}}}}, {{math|1=''B''<sub>3</sub> = 0}}, {{math|1=''B''<sub>4</sub> = − {{sfrac|1|30}}}}, {{math|1=''B''<sub>5</sub> = 0}}, {{math|1=''B''<sub>6</sub> = {{sfrac|1|42}}}}, {{math|1=''B''<sub>7</sub> = 0}}, {{math|1=''B''<sub>8</sub> = − {{sfrac|1|30}}}}.
上標 ± 在本文中用來區別兩種不同的白努利數定義，而這兩種定義只有在{{math|1=''n'' = 1}} 時有所不同：
* {{math|''B''{{su|p=−|b=''n''}}}} 表示'''第一白努利數''' ({{OEIS2C|id=A027641}} / {{OEIS2C|id=A027642}})，由[[國家標準技術研究所|美國國家標準技術研究所 (NIST)]]制定，在這標準下 {{math|1=''B''{{su|p=−|b=1}} = − {{sfrac|1|2}}}}.
* {{math|''B''{{su|p=+|b=''n''}}}} 表示'''第二白努利數''' ({{OEIS2C|id=A164555}} / {{OEIS2C|id=A027642}})，又被稱為是「原始的白努利數」<ref>{{OEIS2C|id=A164555}}.</ref> ，在這標準下 {{math|1=''B''{{su|p=+|b=1}} = + {{sfrac|1|2}}}}.
由於對於所有大於{{Math|1}}的奇數 {{math|''n''}}白努利數 {{math|1=''B''<sub>''n''</sub> = 0}} ，且許多公式中僅使用偶數項的白努利數，一些作者可能會用"{{math|''B''<sub>''n''</sub>}}"來代表 {{math|''B''<sub>2''n''</sub>}}，不過在本文中不會使用如此的簡寫。

== 等冪求和 ==
{{Main articles|等幂求和}}
'''伯努利數'''''B''<sub>''n''</sub>是等冪求和的[[解析解]]中最為明顯的特徵，定義等冪和如下，其中{{Math|''m'', ''n'' ≥ 0}}：
:<math>S_m(n)=\sum_{k=1}^{n} k^m = 1^m + 2^m + \cdots + {n}^m</math>
這數列和的公式必定是變數為{{Math|''n''}}，次數為{{Math|''m'' +1}}次的[[多項式]]，稱為'''[[伯努利多項式]]'''。伯努利多項式的[[係數]]與伯努利數有密切關係如下：

:<math>S_m(n) = \frac{1}{m + 1} \sum_{k=0}^m \binom{m + 1}{k} B^+_k n^{m + 1 - k},</math>

其中{{Math|({{su|p=''m'' + 1|b=''k''|a=c}})}} 為[[二項式係數]]。

舉例說，把''m''取為1，我們有<math> 1 + 2 + ... + n = \frac{1}{2}\left(B_0 n^2+2B_1^+ n^1\right) = \frac{1}{2}\left(n^2+n\right).</math>

伯努利數最先由[[雅各布·伯努利]]研究，[[棣莫弗]]以他來命名。

伯努利數可以由下列[[遞歸]]公式計算：

:<math>\sum_{j=0}^m{m+1\choose{j}}B_j = m+1</math>，

初值條件為''B''<sub>0</sub> = 1，''B''<sub>1</sub> = 1/2。
或者：<math>\sum_{j=0}^m{m+1\choose{j}}B_j = 0</math>，

初值條件為''B''<sub>0</sub> = 1，''B''<sub>1</sub> = -1/2。

伯努利數也可以用[[母函數]]技巧定義。它們的指數母函數是''x''/（''e<sup>x</sup>'' − 1），使得對所有[[絕對值]]小於2π的''x''（[[冪級數]]的[[收斂半徑]]），有

:<math>
\frac{x}{e^x-1} = \sum_{n=0}^{\infin} B_n \frac{x^n}{n!}
</math>。

有時會寫成小寫''b<sub>n</sub>''，以便與[[貝爾數]]分別開。

最初21項伯努利數記於[[OEIS]]中的數列{{OEIS link|A027641}}和{{OEIS link|A027642}}。

可以證明對所有不是1的奇數''n''有''B''<sub>''n''</sub> = 0。

數列中乍看起來突兀的''B''<sub>12</sub> = −691/2730，喻示伯努利數不能以初等方式描述；其實它們是[[黎曼ζ函數]]於負整數的值，有深邃的數論性質聯繫，所以不能預期有簡單的計算公式。

伯努利數出現在正切和雙曲正切函數的[[泰勒級數]]展開式、[[歐拉-麥克勞林公式]]，及黎曼ζ函數的一些值的表達式。

在1842年的[[愛達·勒芙蕾絲]]的[[分析機]]筆記的筆記G，第一次記述了一個讓電腦產生伯努利數的[[算法]]。

==一些等式==

[[萊昂哈德·歐拉|歐拉]]以黎曼ζ函數表達伯努利數為：

:<math>B_{2k}=2(-1)^{k+1}\frac {\zeta(2k)\; (2k)!} {(2\pi)^{2k}}</math>。

在[−1, 0]區間上的[[連續均勻分佈|連續均勻]][[概率分佈]]的''n''階[[累積量]]是''B''<sub>''n''</sub>/''n''。

==伯努利數的算術性質==

伯努利數可以用黎曼ζ函數表達為''B''<sub>''n''</sub> = − ''n''ζ（1 − ''n''），也就說明它們本質上是這函數在負整數的值。因此，可推測它們有深刻的算術性質，事實也的確如此，這是[[庫默爾]]（Kummer）研究[[費馬大定理]]時發現的。

伯努利數的可整除性是與[[分圓域]]的[[理想類群]]有關。這關係由庫默爾的一道定理和更強的[[埃爾貝朗-里貝定理]]（Herbrand-Ribet）描述。而這性質與實二次域的關係由[[安克尼-阿廷-喬拉猜想]]（Ankeny-Artin-Chowla）給出。伯努利數還和[[代數K理論]]有關：若''c''<sub>''n''</sub>是''B''<sub>''n''</sub>/2''n''的分子，那樣<math>K_{4n-2}(\mathbb{Z})</math>的階是−''c''<sub>2''n''</sub>若''n''為偶數；2''c''<sub>2''n''</sub>若''n''為奇數。

與整除性也有關連的是[[馮·施陶特-克勞森定理]]（von Staudt-Clausen）。這定理是說，凡是適合''p'' − 1整除''n''的質數''p''，把1/''p''加到''B''<sub>''n''</sub>上，我們會得到一個整數。這個事實給出了非零伯努利數''B''<sub>''n''</sub>的分母的特徵：這些分母是適合''p'' − 1整除''n''的所有質數''p''的乘積；故此它們都無平方因子，也都可以被6整除。

[[吾鄉-朱加猜想]]猜測''p''是質數當且僅當''pB''<sub>''p''−1</sub>模''p''同餘於−1。

===''p''進連續性===

伯努利數的一個特別重要的同餘性質，可以表述為''p''進連續性。若''b''，''m''和''n''是正整數，使得''m''和''n''不能被''p'' − 1整除，及<math>m \equiv n\, \bmod\,p^{b-1}(p-1)</math>，那麼

:<math>(1-p^{m-1}){B_m \over m} \equiv (1-p^{n-1}){B_n \over n} \,\bmod\, p^b</math>。

因為<math>B_n = -n\zeta(1-n)</math>，這也可以寫成

:<math>(1-p^{-u})\zeta(u) \equiv (1-p^{-v})\zeta(v)\, \bmod \,p^b\,</math>，

其中''u'' = 1 − ''m''和''v'' = 1 − ''n''，使得''u''和''v''非正，及不是模''p'' − 1同餘於1。這告訴我們，黎曼ζ函數的歐拉乘積公式中去掉<math>1-p^z</math>後，對適合模''p'' − 1同餘於某個<math>a \not\equiv 1\, \bmod\, p-1</math>的負奇數上的''p''進數連續，因此可以延伸到所有''p''進整數<math>\mathbb{Z}_p\,</math>，得出'''''p''進ζ函數'''。

==伯努利數的幾何性質==
在<math>n \ge 2</math>時給出可平行流形邊界的怪（4''n''−1）球，對於它們的微分同胚類的循環群的階，有凱爾韋爾-米爾諾公式（Kervaire-Milnor），用到了伯努利數。若''B''是''B''<sub>4''n''</sub>/''n''的分子，那麼這種怪球的數目是<math>2^{2n-2}(1-2^{2n-1})B</math>。（拓撲學文章中的公式與這裡不同，因為拓撲學家為伯努利數編號的習慣不同。本文跟隨數論家的編號習慣。）

== 參見 ==
* [[等幂求和]]
* [[黎曼ζ函數]]

==外部連結==
*[http://www.bernoulli.org 伯努利數網頁] {{Wayback|url=http://www.bernoulli.org/ |date=20190926001708 }}
*[http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A047680 整數數列線上大全——與伯努利數有關的數列的記錄]
*''[http://www.gutenberg.net/etext/2586 首498個伯努利數] {{Wayback|url=http://www.gutenberg.net/etext/2586 |date=20041014201616 }}''取自[[古登堡計劃]]

[[Category:数论|B]]
[[Category:整数数列|B]]
[[Category:拓扑学|B]]