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在[[代数几何学]]中'''，伯克霍夫-格罗滕迪克定理'''（英文：Birkhoff–Grothendieck theorem）刻画了复射影直线上的[[全纯向量丛]]。具体而言，所有 <math>{\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}</math>上的全纯向量丛都是全纯线丛的直和<ref>{{Cite journal|title=Sur La Classification Des Fibres Holomorphes Sur La Sphere de Riemann|url=https://www.jstor.org/stable/2372388?origin=crossref|last=Grothendieck|first=A.|date=1957-01|journal=American Journal of Mathematics|issue=1|doi=10.2307/2372388|volume=79|pages=121|access-date=2021-01-11|archive-date=2020-07-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20200706184026/https://www.jstor.org/stable/2372388?origin=crossref|dead-url=no}}</ref>。

== 正式表述 ==
伯克霍夫-格罗滕迪克定理指出，在<math>{\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}</math> 上，任何一个全纯向量丛 <math> \mathcal{E} </math> 总是全纯同构于线丛的直和

<math> \mathcal{E}\cong\mathcal{O}(a_1)\oplus \cdots \oplus \mathcal{O}(a_n).</math>

该表示在不计直和项的排列顺序的意义下是唯一的。

== 推广 ==
伯克霍夫-格罗滕迪克定理可以被推广。对于复射影直线 <math>\mathbb{P}^1_k</math> 上的代数向量丛，该结论也成立，其中 <math>k</math> 是任意的一个域<ref>{{Cite journal|title=A short elementary proof of Grothendieck's theorem on algebraic vectorbundles over the projective line|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0022404982900378|last=Hazewinkel|first=Michiel|last2=Martin|first2=Clyde F.|date=1982-08|journal=Journal of Pure and Applied Algebra|issue=2|doi=10.1016/0022-4049(82)90037-8|volume=25|pages=207–211|language=en|access-date=2021-01-11|archive-date=2019-02-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20190205100537/https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0022404982900378|dead-url=no}}</ref>。

== 参见 ==

* [[K-理论]]
* [[欧拉正合列]]
* [[射影空间]]

== 参考资料 ==
<references />

==延伸阅读==
*{{citation
 | first1 = C. | last1 = Okonek
 | first2 = M. | last2 = Schneider
 | first3 = H. | last3 = Spindler
 | title = Vector bundles on complex projective spaces
 | series = Progress in Mathematics | publisher = Birkhäuser | year = 1980 |mode=cs1}}

{{DEFAULTSORT:Birkhoff-Grothendieck theorem}}
[[Category:向量丛]]
[[Category:射影几何定理]]
[[Category:代数几何定理]]
[[Category:复几何定理]]

{{Topology-stub}}