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'''伪谱'''（{{lang-en|pseudospectrum}}）在[[数学]]中是指一个[[算子]]的[[特征值和特征向量|特征值]]和“近似”特征值的[[集合 (数学)|集合]]。伪谱是[[谱 (泛函分析)|谱]]（即算子的特征值集合）这一概念的推广，对理解[[正规算子|非正规算子]]及其特征函数十分重要。

矩阵<math>A</math>的<math>\epsilon</math>伪谱（<math>\epsilon</math>-pseudospectrum）包含与该矩阵“<math>\epsilon</math>接近”（<math>\epsilon</math>-close）的所有矩阵的特征值，即：<ref name="Hogben">{{Cite book|last=Hogben|first=Leslie|title=Handbook of Linear Algebra, Second Edition|date=2013|publisher=CRC Press|isbn=9781466507296|page=23-1|url=https://books.google.com/books?id=Er7MBQAAQBAJ&dq=pseudospectrum&pg=SA23-PA18|accessdate=8 September 2017|language=en|archive-date=2023-08-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20230811034033/https://books.google.com/books?id=Er7MBQAAQBAJ&dq=pseudospectrum&pg=SA23-PA18|dead-url=no}}</ref>

: <math>\Lambda_\epsilon(A) = \{\lambda \in \mathbb{C} \mid \exists x \in \mathbb{C}^n \setminus \{0\}, \exists E \in \mathbb{C}^{n \times n} \colon (A+E)x = \lambda x, \|E\| \leq \epsilon \}.</math>

由于舍入和其他数值误差，用于计算矩阵特征值的数值算法仅能给出特征值的近似结果。这些误差可以用矩阵<math>E</math>来描述。

更一般地，对于[[巴拿赫空间]]<math>X</math>、<math>Y</math>与算子<math> A: X \to Y</math> ，<math>A</math>的<math>\epsilon</math>伪谱（通常表示为<math>\text{sp}_{\epsilon}(A)</math> ）可定义为

: <math>\text{sp}_{\epsilon}(A) = \{\lambda \in \mathbb{C} \mid \|(A-\lambda I)^{-1}\| \geq 1/\epsilon \}.</math>

其中，当<math> A - \lambda I </math>是不可逆时，约定<math> \|(A-\lambda I)^{-1}\| = \infty </math>。<ref name="BottSil">{{Cite book|last=Böttcher|first=Albrecht|last2=Silbermann|first2=Bernd|title=Introduction to Large Truncated Toeplitz Matrices|date=1999|publisher=Springer New York|isbn=978-1-4612-1426-7|page=70|url=https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1426-7_3|accessdate=22 March 2022|language=en}}</ref>

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

[[Category:谱理论]]
[[Category:数值线性代数]]