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在[[随机分析]]中，'''伊藤引理'''（Ito's lemma）是一条非常重要的性质。發現者為日本數學家[[伊藤清]]，他指出了对于一个[[随机过程]]的函数作微分的规则。

==伊藤引理较早版本==
=== 第一引理 ===
对于[[布朗运动]]<math> W_t </math>和二次[[可导]][[函数]]<math>f(x)</math>，以下等式成立：
:<math>df(W_t) = f'(W_t)dW_t + \frac{1}{2} f''(W_t)dt</math>

其中過程：
:<math>dtdt = 0   ,  dtdW_t = dW_tdt = 0  ,  dW_tdW_t = dt </math>

其主要可通过对[[多项式环]]到[[形式幂级数]]的拓展，例如：
:<math>de^{W_t^2}= 2W_t e^{W_t^2} dW_t + (e^{W_t^2} + 2W_t^2 e^{W_t^2} )dt</math>

=== 第二引理 ===
对于[[伊藤過程|伊藤过程]]<math> X_t </math>和二次[[可导]][[函数]]<math>f(t,x)</math>，以下等式成立
:<math>df(t,X_t) = \left(\frac{\partial f}{\partial t}  + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right)dt + \frac{\partial f}{\partial x} dX_t</math>

===第三引理===
定义[[伊藤过程]]<math> X_t </math>为满足下列[[随机微分方程]]的随机过程
:<math> dX_t= \mu_t \, dt + \sigma_t \, dW_t</math>
对于伊藤过程<math> X_t </math>和二次[[可导]][[函数]]<math>f(t,x)</math>，以下等式成立：
:<math>df(t,X_t) =\left(\frac{\partial f}{\partial t} + \mu_t\frac{\partial f}{\partial x}  + \frac{1}{2}\sigma_t^2\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\right)dt + \sigma_t\frac{\partial f}{\partial x} \,dW_t.</math>

类似地，定义多维伊藤过程<math>\mathbf{X}_t = (X^1_t, X^2_t, \ldots, X^n_t)^T</math>使得
:<math>d\mathbf{X}_t = \boldsymbol{\mu}_t\, dt + \mathbf{G}_t\, d\mathbf{B}_t</math>
其中<math>\boldsymbol{\mu}_t</math>为n维[[向量]]，<math>\mathbf{G}_t</math>为n阶[[方块矩阵]]；有如下等式：
:<math>\begin{align}
df(t,\mathbf{X}_t) &= \frac{\partial f}{\partial t}\, dt + \left (\nabla_\mathbf{X} f \right )^T\, d\mathbf{X}_t + \frac{1}{2} \left(d\mathbf{X}_t \right )^T \left( H_\mathbf{X} f \right) \, d\mathbf{X}_t, \\
                   &= \left\{ \frac{\partial f}{\partial t} + \left (\nabla_\mathbf{X} f \right)^T \boldsymbol{\mu}_t + \frac{1}{2}\operatorname{Tr}\left[ \mathbf{G}_t^T \left( H_\mathbf{X} f \right) \mathbf{G}_t \right] \right\} dt + \left (\nabla_\mathbf{X} f \right)^T \mathbf{G}_t\, d\mathbf{B}_t
\end{align}</math>
其中，<math>\nabla_\mathbf{X} f</math>是{{math|''f''}}关于{{math|''X''}}的[[梯度#对向量的梯度|梯度]]，{{math|''H''<sub>'''X'''</sub> ''f''}} 是{{math|''f''}}关于{{math|''X''}}的[[黑塞矩陣]]，{{math|Tr}}是[[跡]]的符号。

==到[[半鞅]]的拓展==
{{Definition needed|title=说明记号的含义|date=2024年8月}}
=== 连续半鞅 ===

:<math>df(X_t) = \sum_{i=1}^d f_{i}(X_t)\,dX^i_t + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^df_{i,j}(X_t)\,d[X^i,X^j]_t.</math>

=== 不连续半鞅 ===
:<math>
\begin{align}
f(X_t)= & f(X_0)+\sum_{i=1}^d\int_0^t f_{i}(X_{s-})\,dX^i_s + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^d \int_0^t f_{i,j}(X_{s-})\,d[X^i,X^j]_s\\
&{} + \sum_{s\le t}\left(\Delta f(X_s)-\sum_{i=1}^df_{i}(X_{s-})\,\Delta X^i_s-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^d f_{i,j}(X_{s-})\,\Delta X^i_s \, \Delta X^j_s\right).
\end{align}
</math>

=== 泊松过程 ===
我们也可以定义非连续随机过程的函数。

定义跳跃强度''h''，根据跳跃的[[泊松过程]]模型，在区间<math>[t,\ t + \Delta t]</math>上出现一次跳跃的概率是<math>h \Delta t</math> 加上<math> \Delta t</math>的高阶无穷小量。''h''可以是常数、显含时间的确定性函数，或者是随机过程。在区间<math>[0,t]</math>上没有跳跃的概率称为生存概率<math>p_s(t)</math>，其变化是：
:<math>d p_s(t) = -p_s(t) h(t) \, dt.</math>
因此生存概率为：
:<math>p_s(t) = \exp \left(-\int_0^t h(u) \, du \right).</math>

定义非连续随机过程<math>S(t)</math>，并把<math>S(t^-)</math>记为从左侧到达''t''时''S''的值，记<math>d_j S(t)</math>是一次跳跃导致<math>S(t)</math>的非无穷小变化。有：
:<math>d_j S(t)=\lim_{\Delta t \to 0}(S(t+\Delta t)-S(t^-))</math>

<math>\eta(S(t^-),z)</math>是跳跃幅度''z''的[[概率分布]]，跳跃幅度的期望值是：
:<math>E[d_j S(t)]=h(S(t^-)) \, dt \int_z z \eta(S(t^-),z) \, dz.</math>

定义补偿过程和[[鞅]]<math>d J_S(t)</math>： 
:<math>d J_S(t)=d_j S(t)-E[d_j S(t)]=S(t)-S(t^-)-(h(S(t^-)) \int_z z \eta(S(t^-),z) \, dz) \, dt.</math>
因此跳跃的非无穷小变化，也就是随机过程的跳跃部分可以写为：
:<math>d_j S(t) = E[d_j S(t)] + d J_S(t) = h(S(t^-)) (\int_z z \eta(S(t^-),z) \, dz) dt + d J_S(t).</math>

因此如果随机过程<math>S</math>同时包含漂移、扩散、跳跃三部分，可以写为：
:<math>d S(t) = \mu dt + \sigma dW(t) + d_j S(t).</math>

考虑其函数<math>g(S(t),t)</math>。<math>S(t)</math>跳跃<math>\Delta s</math>的幅度，会导致<math>g(t)</math>跳跃<math>\Delta g</math>幅度。<math>\Delta g</math>取决于g的跳跃分布<math>\eta_g()</math>，有可能依赖于跳跃前的函数值<math>g(t^-)</math>，函数微分''dg''以及跳跃前的自变量值<math>S(t^-)</math>。<math>g</math>的跳跃部分是：
:<math>
\begin{align}
g(t)-g(t^-) & =h(t) \, dt \int_{\Delta g} \, \Delta g \eta_g(\cdot) \, d\Delta g + d J_g(t).
\end{align}
</math>

函数<math>g(S(t),t)</math>的伊藤引理是：
:<math>
\begin{align}
d g(t) & = \left( \frac{\partial g}{\partial t}+\mu \frac{\partial g}{\partial S}+\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 g}{\partial S^2}+h(t)\int_{\Delta g} (\Delta g \eta_g(\cdot) \, d{\Delta}g) \, \right) dt + \frac{\partial g}{\partial S} \sigma \, d W(t) + d J_g(t).
\end{align}
</math>

可以看到，漂移-扩散过程与跳跃过程之和的伊藤引理，恰恰是各自部分伊藤引理的和。

==应用例子==
===布莱克-舒尔兹模型===
伊藤引理可以用于推导[[布莱克-舒尔兹模型]]。假设一支股票的价格服从几何布朗运动<math>dS=\mu Sdt +\sigma SdW</math>，且其期权的价格是股票价格和时间的函数<math>V=f(t,S)</math>。根据伊藤引理，有
:<math>df = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \mu S\frac{\partial f}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\right)\,dt +\sigma S\frac{\partial f}{\partial S}\,dW</math>
整理可得
:<math>df = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\right)\,dt +\frac{\partial f}{\partial S}\,dS</math>
式中<math>\frac{\partial f}{\partial S}\,dS</math>项表明期权价格的波动等于持有<math>\frac{\partial f}{\partial S}</math>单位股票时的波动。在这个对应下，现金的部分应该以无风险利率<math>r</math>增长，即
:<math> df = r\left(f-S\frac{\partial f}{\partial S}\right)\,dt + \frac{\partial f}{\partial S}\,dS</math>
比较两式<math>dt</math>项的系数，可得
:<math>\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2} + rS\frac{\partial f}{\partial S}-rf = 0</math>

==参看==
* [[费曼－卡茨公式]]

== 參考資料 ==
* Ito, K. (1944): Stochastic integral. Proc. Imp. Acad. Tokyo 20, 519-524.
* PROTTER, P. (1990): Stochastic Integration and Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin.
* Black, F. & Scholes, M. (1973) :The pricing of options and corporate liabilities. J. Polit. Economy 

[[Category:方程]]
[[Category:機率論定理]]
[[Category:统计定理]]
[[Category:引理]]