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'''仿射空间''' （英文: Affine space)，又称'''线性流形'''，是[[数学]]中的[[几何]][[数学结构|结构]]，这种结构是[[欧式空间]]的[[仿射几何|仿射]]特性的推广。在仿射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是点与点之间不可以做加法。

仿射空间中没有特定的原点，因此不能将空间中的每一点和特定的向量对应起来。仿射空间中只有从一个点到另一个点的[[位移]]向量，或称[[平移]]向量。如果<math>X</math>是仿射空间，<math>a,b \in X</math>，那么从<math>a</math>到<math>b</math>的位移向量为<math>b-a</math>。虽然无法做点与点之间的加法， 但是可以通过仿射组合(系数和为1的线性组合)的方式进行点的变化，仿射组合的系数构成了一个[[重心坐标]] 。
所有向量空间都可看作仿射空间。若<math>X</math>是向量空间，<math>L \subseteq X</math>是向量子空间，<math>a \in X</math>, 则<math>a + L = \{a+l:l \in L\}</math>是仿射空间。这里的<math>a</math>也称为平移向量。若向量空间<math>X</math>的维度是<math>n < \infty</math>，那么<math>X</math>的仿射子空间也可看作一组非齐次线性方程的解；对应的(去掉平移向量的)齐次方程的解是线性子空间，因为齐次方程的解永远包含零解。维度为<math>n-1</math>的仿射空间也叫做仿射超平面。

==非正式描述==
下面的非正式描述可能比正式的定义更容易理解。仿射空间像是没有原点的[[向量空间]]，其中向量只有方向和大小。假设有甲乙两人，其中甲知道一个空间中真正的原点，但是乙认为另一个点<math>p</math>才是原点。现在求两个向量<math>a</math>和<math>b</math>的和。乙画出<math>p</math>到<math>a</math>和<math>p</math>到<math>b</math>的箭头，然后用平行四边形找到他认为的向量<math>a + b</math>。但是甲认为乙画出的是向量<math>p +(a-p) +(b-p)</math>。同样的，甲和乙可以计算向量<math>a</math>和<math>b</math>的[[线性组合]]，通常情况下他们会得到不同的结果。然而，请注意：如果线性组合系数的和为1，那么甲和乙将得到同样的结果！
[[File:Affine origin.png|thumb|图中Alice为甲,Bob为乙]]

如果乙从他的原点<math>p</math>向<math>\lambda a + (1 -\lambda)b</math>方向行走，
则从甲的角度来看，乙的行程为<math>p + \lambda(a - p) + (1 - \lambda)(b - p) = \lambda a + (1 - \lambda)b</math>.

仿射空间就是这样产生的：定义仿射组合为系数和为1的线性组合；甲知道空间的「线性结构」，但是甲和乙都知道空间的「仿射结构」，也就是空间中所有[[仿射组合]]的值。
那么对于所有满足<math>\lambda + (1 - \lambda) = 1</math>的系数，即使甲乙从不同的原点开始，他们将以同样的线性组合描述同样的点。

== 定义 ==
称[[集合 (数学)|集合]] <math>A</math> 是'''仿射空间'''，是指其满足如下性质：
#存在一个与之相伴的[[向量空间]] <math>B</math>
#存在一个[[映射]] <math>f :\begin{align}
A \times B &\to A \\
 (a,v)\ &\mapsto a + v
\end{align}</math>，且这个映射有如下性质：
##右幺性：<math>\forall a \in A, a+0_{B}=a</math>;
##结合律：<math>\forall \alpha, \beta \in B, a \in A </math> 成立 <math>(a+\alpha)+\beta=a+(\alpha+\beta)</math>;
##正则性：给定 <math>A </math> 中的元素<math>a </math>, <math>\exists f_a: B \rightarrow A </math> 是[[双射]].
从定义中不难得出集合 <math>A </math> 还具有如下性质:
# <math>\forall \alpha \in B, f_\beta: a \mapsto a + \alpha </math>是一个双射;
# 减法： <math>\forall a, b \in A, \exists \alpha \in B  </math> 使得<math> b= a+\alpha </math>, 记这个 <math>\alpha </math> 为 <math>b-a </math>.
另一种等价的定义可以表述为：集合 <math>A </math> 是'''仿射空间''', 是指存在某个[[向量空间]]<math>V </math>, <math>V </math> 在 <math>A </math> 上的作为[[加法群]]的[[群作用]]是[[自由(群作用)|自由]]且[[可迁]]的.

==参阅==
*[[仿射几何]]
*[[仿射变换]]
* [[仿射群]]
* [[区间测度]]
* [[heap (数学)]]
* [[空间 (数学)]]
{{維度}}

== 参考文献 ==
*{{Citation | last1=Cameron | first1=Peter J. | title=Projective and polar spaces | url=http://www.maths.qmul.ac.uk/~pjc/pps/ | publisher=Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences | location=London | series=QMW Maths Notes | id={{MathSciNet | id = 1153019}} | year=1991 | volume=13 | accessdate=2010-03-09 | archive-date=2020-07-06 | archive-url=https://web.archive.org/web/20200706201620/http://www.maths.qmul.ac.uk/~pjc/pps/ | dead-url=no }}
*{{Citation | last1=Coxeter | first1=Harold Scott MacDonald | author1-link=Harold Scott MacDonald Coxeter | title=Introduction to Geometry | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | edition=2nd | isbn=978-0-471-50458-0 | id={{MR|123930}} | year=1969}}
*{{eom|id=A/a011100|authorlink= Dolgachev|first=I.V.|last= Dolgachev|first2=A.P. |last2=Shirokov}}
* [[Ernst Snapper]] and Robert J. Troyer, ''Metric Affine Geometry'', [[Dover Publications]]; Reprint edition (October 1989)

[[Category:仿射几何]]
[[Category:线性代数]]