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在[[數學]]裡，'''代數整數'''（'''algebraic integer'''）是[[复数 (数学)|複數]]中的一类。一个複数α是代数整数当且仅当它是某个個[[整数|整]][[系數]]的首一[[多項式]]<math>P(x)</math>的根。其中首一（英文：monic）意謂最高[[冪]]次項的系數是1。

因此，所有代數整數都是[[代數數]]，但並非所有[[代數數]]都是'''代數整數'''。所有代数整数构成一个环，通常记作<math>\mathbb{A}</math>。

如果<math>P(x)</math>是整係數[[本原多項式]]（即系數的[[最大公因数]]是1的多项式），但非首一多項式，則<math>P</math>的根都不是代數整數。

== 定义 == 
以下是代数整数四种相互[[等价]]的定义。设{{mvar|K}}为[[代数数域]]（[[有理数]][[体 (数学)|域]]<math>\mathbb Q</math>的[[有限扩张]]）。根据[[本原元定理]]，{{mvar|K}}可以写成<math>K = \mathbb{Q}(\theta)</math>的形式。其中<math>\theta \in \mathbb C</math>是某个[[代数数]]。设有<math>\alpha \in K</math>，则{{mvar|α}}是代数整数当且仅当以下命题之一成立：
#存在整系数多项式：<math>P = X^m + a_1 X^{m-1} + \cdots + a_{m-1} X +a_m \in \mathbb{Z}[X]</math>，使得<math>P(\alpha) = 0</math>。
#{{mvar|α}}在<math>\mathbb Q</math>上的极小首一多项式是整系数多项式。
#<math>\mathbb{Z}[\alpha]</math>是有限生成的<math>\mathbb Z</math>{{mvar|-}}[[模]]。
#存在有限生成的<math>\mathbb Z</math>{{mvar|-}}子模：<math>M \subset \mathbb{C}</math>，使得<math>\alpha M \subseteq M</math>。

==例子==
*[[有理数]]域<math>\mathbb{Q}</math>中的代数整数就是整数。换句话说，<math>\mathbb{A}</math>和<math>\mathbb{Q}</math>交集是整数环<math>\mathbb{Z}</math>。这可以用整系数多项式的一个简单性质证明。如果一个整系数多项式
<center><math>P(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_m x^m</math></center>
:有一个根是有理数：<math>\scriptstyle r = \frac{p}{q}</math>，其中''p''、''q''是[[互素]]的整数，那么必然有：分母''q'' [[整除]]<math>a_m</math>，以及分子''p'' [[整除]]<math>a_0</math>。因此，由于代数整数是某个首一多项式的根，如果它是有理数，那么它的分母整除多项式的最高[[冪]]次項，也就是说整除1。所以这个有理数的分母是1，即是说它是整数。反过来，所有的整数''n''都是整系数首一多项式<math>\displaystyle  x - n </math>的根，所以是代数整数。

*一个给定的[[代数数域]]<math>\mathbb{K}</math>与<math>\mathbb{A}</math>的交集称为这个数域的（代数）整数环，记作<math>\mathcal{O}_K</math>。这个整数环中的代数整数不再只是整数。比如说，给定一个数域：<math>\mathbb{K}=\mathbb{Q}(\sqrt{2})</math>，那么对应的整数环中不仅有整数，还有<math>\sqrt{2}</math>，因为<math>\sqrt{2}</math>是首一多项式<math>\scriptstyle  x^2 - 2 </math>的根。

*<math>\scriptstyle \frac{\sqrt{2}}{2}</math>不是代数整数。这是因为<math>\scriptstyle \frac{\sqrt{2}}{2}</math>在有理数域上的[[最小多项式]]是<math>\scriptstyle  2x^2 - 1 </math>，不是一个首一多项式。

*<math>\scriptstyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>是一个代数整数。它是多项式<math>\scriptstyle x^2 - x - 1</math>的根。一般来说，如果整数<math>\scriptstyle d</math>除以4余1，那么<math>\scriptstyle \frac{1+\sqrt{d}}{2}</math>也是代数整数，因为它是多项式<math>\scriptstyle  x^2 - x - \frac{d-1}{4}</math>的根。
 
*给定[[素数]]{{mvar|p}}，{{mvar|p}}次[[单位根]]<math>\zeta_p</math>也是一个代数整数，因为是首一多项式<math>\displaystyle  x^p - 1 = 0</math>的根。实际上，{{mvar|p}}次[[分圆域]]<math>\mathbb{Q}(\zeta_p)</math>的整数环就是<math>\mathbb{Z}[\zeta_p]</math>。

==性质==

* 兩個代數[[整數]]的和是一個代數整數，他們的差及積也是。這時它們滿足的首一多項式可以用[[結式]]表達；但他們的商就不一定是代數整數。
* 一個以代數整數為系數的首一多項式的根也是代數整數。換句話說，代數整數構成一個[[环 (代数)|環]]，並且在任何[[代數擴張]]下是[[整閉]]的。
* 任何從整數出發，透過和、積與开方得到的數都是代數整數，但並非所有代數整數都可依此構造，例如，大多數的五次代數整數都無法透過這種方式構造。
* 代數整數是[[裴蜀整环]]。

==參見==
*[[整性]]
*[[高斯整數]]
*[[艾森斯坦整數]]
*[[單位根]]
*[[狄利克雷單位理論]]
*[[基本单位 (数论)]]

==参考来源==
* Daniel A. Marcus, ''Number Fields''（数域）, third edition, Springer-Verlag, 1977

{{代數數}}
[[Category:代數數論|D]]
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