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{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:域; zh-tw:體;
}}
{{SelfDistinguish|[[数域]]，也不是全体[[代数数]]构成的域}}
'''代数数域'''是[[数学]]中[[代数数论]]的基本概念，[[数域]]的一类，有时也被简称为'''数域'''，指[[有理数]][[域 (数学)|域]]<math>\mathbb{Q}</math>的[[代数扩张|有限扩张]]形成的扩域<ref>{{cite book | author = 蓝以中 | title = 《高等代数简明教程》 | url = https://archive.org/details/isbn_9787301053706 | edition = 第二版 | publisher = 北京大学出版社 | isbn = 978-7-301-05370-6 | pages = [https://archive.org/details/isbn_9787301053706/page/9 9]|date=2007年7月}}</ref>{{r|th}}。任何代数数域都可以视作<math>\mathbb{Q}</math>上的有限维[[向量空间]]。

对代数数域的研究，或者更一般地说，对有理数域的代数扩张的研究，是代数数论的中心主题。

==定义==
===预备知识===
代数数域是[[域 (数学)|域]]的一类。域是装备了两个二元运算（通常称之为“加法”、“乘法”）的代数系统。这两种运算各自满足[[结合律]]与[[交换律]]，完全[[逆元|可逆]]，同时乘法对加法满足[[分配律]]（详细定义参见[[域 (数学)|域]]）。域的一个重要的例子是[[有理数|有理数域]]<math>\mathbb{Q}</math>。

;域的扩张
域的扩张研究各类域之间的关系，最早的应用包括多项式方程一般求根公式问题等。在给定的域{{mvar|F}}中加入不属于此域的元素（一般以集合{{mvar|S}}记录），规定相互间的运算法则后，“最小的”将它们都包含在内的域<ref group="N">“最小的”指所有同时包含{{mvar|F}}和{{mvar|S}}的域的[[交集]]。</ref>{{mvar|L}}称为“{{mvar|F}}（添加{{mvar|S}}中元素得到）的扩域”。称{{mvar|F}}是{{mvar|L}}的子域。一般将“{{mvar|F}}到{{mvar|L}}的域扩张”记作{{mvar|F}}⊂{{mvar|L}}或{{mvar|L}}/{{mvar|F}}。

;向量空间
另一个基础概念是[[向量空间]]。向量空间，特别是有限维向量空间的概念是[[三维空间]]以及其中向量概念的推广（具体定义参见[[向量空间]]条目）。以某个域{{mvar|F}}为系数域的向量空间（通常称作{{mvar|F}}上的向量空间或{{mvar|F-}}向量空间），其中的向量除了可以相加减，还可以乘以{{mvar|F}}中元素进行放缩。有限维的向量空间可以借助其中的有限个向量来刻画。这些向量之间必须满足特定的条件，称为空间的[[基 (線性代數)|基]]。选定了空间的基以后，空间里的任何向量都可以表达为以{{mvar|F}}中元素组成的有序[[数组]]：<math>(x_1, x_2, \cdots , x_n)</math>。其中的{{mvar|n}}是基中向量的个数，也称为空间的维数。

;有限扩张
设{{mvar|L}}是域{{mvar|F}}的一个扩域。将{{mvar|L}}中的元素看作向量，以{{mvar|F}}作为系数域，可以证明{{mvar|L}}是一个{{mvar|F-}}向量空间。如果这个向量空间是有限维的，就称{{mvar|L}}是{{mvar|F}}的有限扩张。{{mvar|L}}作为{{mvar|F-}}向量空间的维数，称为扩张的次数，记作{{math|[}}{{mvar|L}} : {{mvar|F}}{{math|]}}。

===定义===
若域{{mvar|L}}是有理数域<math>\mathbb{Q}</math>的有限扩张，则称之为代数数域{{r|dh|page=3}}。

==例子==
最小最基本的代数数域是有理数域<math>\mathbb{Q}</math>。因为<math>\mathbb{Q}</math>自身是<math>\mathbb{Q}</math>{{mvar|-}}向量空间，维数是1。因此<math>\mathbb{Q}</math>是<math>\mathbb{Q}</math>自身的域扩张，<math>[\mathbb{Q} : \mathbb{Q}] = 1.</math>

[[高斯]][[有理数]]<math>\mathbb{Q}(i)</math>（{{mvar|i}}为[[虚数单位]]）是数学家发现的第一个非平凡代数数域的例子，它是所有形同：
::<math>a + bi  , \; \; a, b \in \mathbb{Q}</math>
的数构成的集合。可以证明，<math>\mathbb{Q}(i)</math>是域，而且是<math>\mathbb{Q}</math>{{mvar|-}}向量空间，以<math>\{1, i \}</math>为基，空间维数是2。所以<math>\mathbb{Q}(i)</math>是<math>\mathbb{Q}</math>的二次扩张，<math>[\mathbb{Q}(i) : \mathbb{Q}] = 2.</math>

给定不是[[完全平方数]]的[[正整数]]或[[相反数]]不是完全平方数的负整数{{mvar|d}}，[[二次域]]<math>\mathbb{Q}(\sqrt{d})</math>在<math>\mathbb{Q}</math>中添加{{mvar| d}}的[[平方根]]而得的扩域。与高斯有理数域类似，可以证明<math>\mathbb{Q}(\sqrt{d})</math>是<math>\mathbb{Q}</math>{{mvar|-}}向量空间，以<math>\{1, \sqrt{d} \}</math>为基，空间维数是2，即<math>[\mathbb{Q}(\sqrt{d}) : \mathbb{Q}] = 2.</math>

考虑多项式方程<math>x^n = 1</math>的{{mvar|n}}个复根<math>\xi_1, \xi_2, \cdots , \xi_n</math>，它们被称做[[单位根|{{mvar|n}}次单位根]]，具体可以写作：
::<math>\xi_i = e^{\frac{2i\pi}{n}}, \; \; i \in \{0, 1, \cdots, n-1 \}.</math>
在<math>\mathbb{Q}</math>中添加<math>\xi_1, \xi_2, \cdots , \xi_n</math>得到的扩域称为[[分圆域|{{mvar|n}}次分圆域]]，记作<math>\mathbb{Q}(\xi_n)</math>。可以证明<math>\mathbb{Q}(\xi_n)</math>是有限维<math>\mathbb{Q}</math>{{mvar|-}}向量空间，维数为<math>\varphi(n)</math>（<math>\varphi</math>是数论中的[[欧拉函数]]），即<math>[\mathbb{Q}(\xi_n) : \mathbb{Q}] = \varphi(n).</math>

[[实数域]]<math>\mathbb{R}</math>、[[复数域]]<math>\mathbb{C}</math>和[[p进数|{{mvar|p}}进数域]]<math>\mathbb{Q}_p</math>都不是<math>\mathbb{Q}</math>的有限扩张，因此都不是代数数域。任何[[有限域]]都不是<math>\mathbb{Q}</math>的扩域，因此也不是代数数域。

全体[[规矩数]]构成的域<math>\mathcal{C}</math>和全体[[代数数]]构成的域<math>\mathcal{A}</math>（有时也被简称为代数数域，与本文主题同名，但不是同一个概念）不是<math>\mathbb{Q}</math>的有限扩张，因此都不是代数数域。

==代数数域与代数数==
[[代数数]]是指能够成为某个有理数系数[[多项式]]（不是零多项式）的根的数。显然所有的有理数都是代数数<ref group="N">任意有理数{{mvar|q}}都是一次多项式{{mvar|X - q}}的根。</ref>。给定一个代数数域{{mvar|L}}，依定义，域扩张<math>\mathbb{Q} \subset  L</math>是有限扩张。设其次数为正整数{{mvar|m}}<ref group="N">此处假设这个域扩张不是平凡的，即{{mvar|L}}不是<math>\mathbb{Q}</math>自身，也即是说假设{{mvar|m}}大于1。</ref>。将{{mvar|L}}看作是{{mvar|m}}维<math>\mathbb{Q}</math>{{mvar|-}}向量空间，在{{mvar|L}}中任意选一个不属于<math>\mathbb{Q}</math>的数{{mvar|z}}，它可以被看作是{{mvar|m}}维<math>\mathbb{Q}</math>{{mvar|-}}向量空间中的一个（非零）向量。考虑以下的{{mvar|m}} + 1个向量：
::<math>1, z, z^2, \cdots, z^m</math>
它们都属于{{mvar|L}}。根据向量空间的性质，它们是[[线性相关性|线性相关]]的。即存在不全为零的{{mvar|m}} + 1个有理数：<math>a_0, a_1, \cdots , a_m</math>，使得：
::<math>a_0 + a_1 z + \cdots + a_m z^m = 0</math>.
考虑非零多项式<math>P = a_0 + a_1 X+ \cdots + a_m X^m</math>，<math>P(z) = 0</math>，即{{mvar|z}}是多项式<math>P</math>的根。所以{{mvar|z}}是代数数。由上可知，任一代数数域的元素都是代数数。

==代数整数==
{{main|代数整数}}
代数整数是指能够成为某个首一整数系数多项式的根的数{{r|dh|page=4}}。显然代数整数是一种代数数。任何整数{{mvar|n}}都是一次整系数多项式{{mvar|X - n}}的根，因此是代数整数。给定代数数域{{mvar|F}}，{{mvar|F}}中所有代数整数构成一个[[环 (代数)|环]]，称作{{mvar|F}}中的（代数）整数环，也称为{{mvar|F-}}整数环，记作<math>\mathcal{O}_F</math>。例如<math>\mathbb{Q}</math>上的代数整数环就是<math>\mathbb{Z}</math>，因此在代数数域研究中<math>\mathbb{Z}</math>也被称作“有理整数”（有理数域中的整数），以区别于其余的代数整数。

代数数域{{mvar|F}}中的整数环<math>\mathcal{O}_F</math>与<math>\mathbb{Z}</math>有不同的代数性质。<math>\mathcal{O}_F</math>不一定是[[唯一分解整环]]。举例来说，设<math>F = \mathbb{Q}(\sqrt{-5})</math>，{{mvar|F}}中的整数环是<math>\mathcal{O}_F = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]</math>。<math>2, 3, 1+\sqrt{-5}, 1-\sqrt{-5}</math>都是<math>\mathcal{O}_F</math>中的“素数”<ref group="N">即不能表示成另两个<math>\mathcal{O}_F</math>中的不等于1或-1的数的乘积，正式名称为不可约元素或素元。</ref>。正整数6，作为<math>\mathcal{O}_F</math>中的元素，它的素因数分解有两种方式：
:<math>6 = 2 \times 3 = \left(1+\sqrt{-5}\right) \times  \left(1 - \sqrt{-5}\right) .</math>
有理整数的唯一分解性质在不少代数数域的整数环中失效。这个事实说明了拉梅对[[费马大定理]]的证明是错误的。为此库默尔等引进了[[理想数]]来作为弥补，由此发展出[[理想 (环论)|理想]]理论<ref>{{cite journal|author=康明昌|title=費馬問題|journal=數學傳播. 第7卷第4期, 第8卷第1期|url=http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_07_4_01/page6.html|access-date=2014-05-24|archive-date=2017-05-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20170514040956/http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_07_4_01/page6.html|dead-url=no}}</ref>。代数数论中一个重要的事实是：<math>\mathcal{O}_F</math>的每个理想都可以唯一表示为[[素理想]]的乘积，即为[[戴德金整环]]。这种“理想的唯一素分解”可部分弥补“代数整数一般不能唯一素因子分解”的不足，在历史上使代数数论发展起来{{r|th}}。

==代数数域的基==
===整数基===
设{{mvar|F}}为{{mvar|n}}次代数数域，{{mvar|F}}的整数基是任一由{{mvar|n}}个{{mvar|F-}}整数组成的集合：
::<math>B = \{b_1, b_2, \cdots, b_n \}</math>
使得任一个{{mvar|F-}}整数{{mvar|x}}都能唯一地表示为这{{mvar|n}}个{{mvar|F-}}整数的整线性组合<ref group="N">在不计顺序的情况下。</ref>，即：
::<math>\forall x \in \mathcal{O}_F, \; \; \exists ! \; (m_1, m_2, \cdots, m_n) \in \mathbb{Z}^n</math>，使得<math>x = m_1 b_1 + m_2 b_2 + \cdots + m_n b_n.</math>
换句话说，整数基{{mvar|B}}是<math>\mathcal{O}_F</math>作为自由<math>\mathbb{Z}</math>{{mvar|-}}[[自由模|模]]的基。给定{{mvar|F}}的一组整数基{{mvar|B}}，可以证明，所有{{mvar|F}}中元素{{mvar|x}}都可以唯一地表示为其中元素的有理线性组合，即：
::<math>\forall x \in F, \; \; \exists ! \; (q_1, q_2, \cdots, q_n) \in \mathbb{Q}^n</math>，使得<math>x = q_1 b_1 + q_2 b_2 + \cdots + q_n b_n.</math>
这说明{{mvar|B}}是{{mvar|F}}作为{{mvar|n}}维<math>\mathbb{Q}</math>{{mvar|-}}向量空间的一组基。而且由于{{mvar|B}}中元素都是{{mvar|F-}}整数，故{{mvar|B}}名为整数基。此外可以证明，{{mvar|x}}是{{mvar|F-}}整数[[当且仅当]]所有<math>q_1, q_2, \cdots, q_n</math>都是有理整数。

===乘幂基===
设{{mvar|F}}为{{mvar|n}}次代数数域。作为{{mvar|n}}维<math>\mathbb{Q}</math>{{mvar|-}}向量空间，{{mvar|F}}包含如下形式的基：
::<math>B = \{ 1, \beta, \beta^2, \cdots , \beta^{n-1} \}</math>
其中每个元素都是某个特定的数{{mvar|β}}的[[幂|乘幂]]。根据域扩张理论中的[[本原元定理]]，这样的{{mvar|β}}一定存在，称为域扩张<math>\mathbb{Q} \subset F</math>的本原元。如果{{mvar|β}}不仅是本原元，还是{{mvar|F-}}整数，那么这时{{mvar|B}}也是整数基，称作乘幂整数基，称{{mvar|F}}为[[单衍域]]（{{lang|en|monogenic field}}）。

==参见==
*[[狄利克雷单位定理]], [[S-单位]]
*[[库默尔扩张]]
*[[闵可夫斯基定理]] [[几何数论]]
*[[Chebotarev稠密定理]]
* [[射线类群]]
* [[分解群]]
* [[亏格域]]

== 注释 ==
{{Reflist|group="N"
}}
== 参考来源 ==
{{reflist|refs=
<ref name="dh">{{cite book|author=David Hilbert|title=The Theory of Algebraic Number Fields|publisher=Springer（插图版）|isbn=9783540627791|date=1998}}</ref>
<ref name="th">{{cite web|author=张贤科|title=代数数论介绍|url=http://faculty.math.tsinghua.edu.cn/~xzhang/fermatetcJ.html|publisher=清华大学  数学科学系|accessdate=2014-05-26|archive-date=2014-11-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20141112162509/http://faculty.math.tsinghua.edu.cn/~xzhang/fermatetcJ.html|dead-url=no}}</ref>
}}
* {{Citation | last1=Janusz | first1=Gerald J. | title=Algebraic Number Fields | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | edition=2nd | isbn=978-0-8218-0429-2 |date=1997.1996}}
* Serge Lang, ''Algebraic Number Theory'', second edition, Springer, 2000
* Richard A. Mollin, ''Algebraic Number Theory'', CRC, 1999
* Ram Murty, ''Problems in Algebraic Number Theory'', Second Edition, Springer, 2005
* {{Citation
| last=Narkiewicz
| first=Władysław
| title=Elementary and analytic theory of algebraic numbers
| edition=3
| publisher=[[Springer-Verlag]]
| location=Berlin
| series=Springer Monographs in Mathematics
| isbn=978-3-540-21902-6
| mr=2078267
|date=2004}}
* {{Citation | last1=Neukirch | first1=Jürgen | author1-link=Jürgen Neukirch | title=Algebraic number theory | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften | isbn=978-3-540-65399-8 | mr=1697859 | volume=322|date=1999}}
*{{Citation | last1=Neukirch | first1=Jürgen | author1-link=Jürgen Neukirch | last2=Schmidt | first2=Alexander | last3=Wingberg | first3=Kay | title=Cohomology of Number Fields | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften | isbn=978-3-540-66671-4 | mr=1737196 | volume=323|date=2000}}
* Andre Weil, ''Basic Number Theory'', third edition, Springer, 1995

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