查看“︁亨泽尔引理”︁的源代码

'''亨泽尔引理'''（{{lang-en|Hensel's Lemma}}）是[[数学]]中[[模算术]]的一個结论。亨泽尔引理说明，如果一个[[同余|模]]{{mvar|p}}（{{mvar|p}}是给定的[[质数]]）的[[多项式]][[方程]]有一个[[多项式|单根]]，则可以通过这个根求出该方程在模{{mvar|p}}的更高次方时的根。在[[完备空间|完备]][[交换环]]（包括[[p进数]]）中，亨泽尔引理被看作是类似于[[牛顿法]]的渐进求根方法。由于p进数分析在某些方面比[[实分析]]更加简单，亨泽尔引理可以加强为多项式方程有根的判定方法。

==定理内容==
設<math>f(x)</math>為[[整数|整]]係數[[多項式]]，<math>k</math>為不少於2的整數，<math>p</math>為[[質數]]。若整數<math>r</math>是下面同餘式的根：
: <math>f(r) \equiv 0 \pmod{p^{k-1}}. </math>

對於
: <math>f(r+tp^{k-1}) \equiv 0 \pmod{p^k}</math>  （I）

，則有：
* 若<math>f'(r) \not\equiv 0 \pmod{p}</math>，則存在唯一的整數<math>0\le t \le p-1</math>使得（I）成立。
: <math>t f'(r) \equiv -( f(r) /p^{k-1} ) \pmod{p} .\,</math>
* 若<math>f'(r) \equiv 0 \pmod{p}</math> 且 <math> f(r) \equiv 0 \pmod{p^k}</math> ，則（I）對任意整數t成立。
* 若<math>f'(r) \equiv 0 \pmod{p}</math> 但 <math> f(r) \not\equiv 0 \pmod{p^k} </math>，則（I）無整數解。

==證明==
亨澤爾引理可用[[泰勒公式]]證明。

: <math>f(r+tp^{k-1}) = f(r) + t p^{k-1} f'(r) + \frac{1}{2} t^2 p^{2(k-1)} f''(r) + \frac{1}{6} t^3 p^{3(k-1)} f'''(r) + ...</math>

因此可見，由第三項開始，都必能被<math>p^k</math>整除。因此：
: <math>f(r+tp^{k-1}) \equiv f(r) + t p^{k-1} f'(r) \pmod{p^k}</math>

==推廣==
若<math>K</math>為完備局域。設 <math>\mathcal{O}_K</math>為<math>K</math>的整數環，設<math>f(x)</math>為係數在 <math> \mathcal{O}_K </math>的多項式，若存在 <math>\alpha_0 \in \mathcal{O}_K</math>使得

: <math>|f(\alpha_0)| < |f'(\alpha_0)|^2</math>
則<math>f(x)</math>有根<math> \alpha \in K</math>。

且：
# <math> \alpha_{i+1} = \alpha_i - \frac{ f(\alpha_i) }{f'(\alpha_i) } </math> 趨近<math> \alpha</math>
# <math> | \alpha - \alpha_0 | \le | \frac{ f(\alpha_i) }{f'(\alpha_i) } | < 1</math>

這個引理其中一個重要應用就是在域為[[p進數]]的情形。

==參考==
* http://mathworld.wolfram.com/HenselsLemma.html {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/HenselsLemma.html |date=20200627113819 }}
* http://eom.springer.de/h/h046930.htm {{Wayback|url=http://eom.springer.de/h/h046930.htm |date=20110113020847 }}
* https://web.archive.org/web/20071206223035/http://planetmath.org/encyclopedia/HenselsLemma.html
[[Category:交換代數]]
[[Category:數論]]
[[Category:同余]]
[[Category:引理]]