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在[[集合论]]和[[数学]]中，两个[[集合 (數學)|集合]]<math>A</math>和<math>B</math>的'''交集'''（Intersection）是含有所有既属于''<math>A</math>''又属于''<math>B</math>''的元素，而没有其他元素的集合。

==有限交集==
[[File:set_intersection.png|thumb|A和<math>B</math>的交集]]
交集是由[[公理化集合论]]的[[策梅洛-弗兰克尔集合论#分類公理|分類公理]]來確保其唯一存在的特定集合 <math>A \cap B</math> ：

: <math>(\forall A)(\forall B)(\forall x)\left\{
    (x \in A \cap B)
    \Leftrightarrow
    \left[
        (x \in A)
        \wedge
        (x \in B)
    \right]
\right\}  </math> 

也就是直觀上：

<math>A</math>和<math>B</math>的交集写作「<math>A\cap B</math>」，「對所有 <math>x</math> ， <math>x \in A \cap B</math> 等價於 <math>x \in A</math> 且 <math>x \in B</math>」

例如：集合<math>\{1,2,3\}</math>和<math>\{2,3,4\}</math>的交集为<math>\{2,3\}</math>。数字<math>9</math>'''不属于'''[[素数]]集合<math>\{2,3,5,7,11,\ldots \}</math>和奇数集合<math>\{1,3,5,7,9,11,\ldots \}</math>的交集。

若两个集合<math>A</math>和<math>B</math>的交集为[[空集|空]]，就是说它们彼此没有-{zh-hans:公共元素; zh-tw:相同的元素;}-，则他们'''不相交'''，写作：<math>A\cap B = \varnothing</math>。例如集合<math>\{1,2\}</math>和<math>\{3,4\}</math>不相交，写作<math>\{1,2\}\cap \{3,4\} = \varnothing</math>。

更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。例如，集合<math>A,B</math>，<math>C</math>和<math>D</math>的'''交集'''为<math>A\cap B\cap C\cap D =A\cap (B\cap (C\cap D))</math>。交集运算满足[[结合律]]。即：
:<math>A\cap (B\cap C) =(A\cap B)\cap C</math>

==任意交集==

以上定義可根據[[并集#无限并集|无限并集]]和[[补集]]來推廣到任意集合的交集。

取一个集合 <math>\mathcal{M}</math> ，則根據[[策梅洛-弗兰克尔集合论#分類公理|分類公理]]可以取以下唯一存在的集合：

:<math>\bar{\mathcal{M}} :=\left\{
A \,|\,
(\exists M \in \mathcal{M})(A = M^c)
\right\}</math>。

也就是直觀上蒐集所有 <math>M^c</math> 的集合， 這樣的話有：

:<math>x \in \bigcup\bar{\mathcal{M}}
\Leftrightarrow
(\exists A)[
    (x \in A)
    \wedge
    (\exists M \in \mathcal{M})(A = M^c)
] </math>

根據[[一阶逻辑]]的定理([[一阶逻辑#量詞的簡寫|Ce]])，也就是：

:<math>x \in \bigcup\bar{\mathcal{M}}
\Leftrightarrow
(\exists M)[
    (M \in \mathcal{M})
    \wedge
    (x \notin M)
    \wedge
    (\exists A)(A = M^c)
]</math>

但根據[[一阶逻辑#等式定理|一阶逻辑的等式相關定理]]，下式：

:<math>(\exists A)(A = M^c)</math>

顯然是個[[一阶逻辑#定理與證明|定理]]（也就是直觀上為真），故：

:<math>x \in \bigcup\bar{\mathcal{M}}
\Leftrightarrow
(\exists M \in \mathcal{M})(x \notin M)</math>

換句話說：

:<math>x \in {\left(\bigcup\bar{\mathcal{M}}\right)}^c
\Leftrightarrow
(\forall M \in \mathcal{M})(x \in M)  </math>

那可以做如下的符號定義：

:<math>\bigcap\mathcal{M}
:=
{\left(\bigcup\bar{\mathcal{M}}\right)}^c</math>

稱為 <math>\mathcal{M}</math> 的'''任意交集'''或'''无限交集'''。也就是直觀上「對所有 <math>x</math> ， <math>x \in \bigcap\mathcal{M}</math> 等價於對任何 <math>\mathcal{M}</math> 的下屬集合 <math>M</math> ，都有 <math>x \in M</math>」

例如：

:<math>A\cap B = \bigcap \{A,\,B\}</math>

類似於[[并集#无限并集|无限并集]]，无限交集的表示符號也有多種

可模仿[[求和符号]]記為

: <math>\bigcap_{A\in \mathcal{M}} A</math>。

但大多數人會假設[[指标集]] <math>I</math> 的存在，換句話說

: 若 <math>I \,\overset{A}{\cong}\, \mathcal{M} </math> 則 <math>\bigcap_{i\in I} A(i) := \bigcap \mathcal{M} </math>

在[[指标集]] <math>I</math> 是[[自然数|自然数系]] <math>\N</math> 的情况下，更可以仿[[无穷级数]]來表示，也就是說：

: 若 <math>\N \,\overset{A}{\cong}\, \mathcal{M}</math> 則 <math>\bigcap^{\infty}_{i = 1} A(i) := \bigcap \mathcal{M}</math>

也可以更'''粗略直觀'''的將 <math>\bigcap^{\infty}_{i = 1} A(i)</math> 写作<math>A_{1} \cap  A_{2} \cap  A_{3} \cap \ldots</math>。

== 参见 ==
* [[朴素集合论]]
* [[并集]]
* [[补集]]
* [[对称差]]

[[Category:抽象代数|J]]
[[Category:集合論基本概念|J]]
[[Category:二元运算]]

{{集合论}}