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'''交错级数审敛法'''（Alternating series test）是证明无穷[[级数]][[收敛级数|收敛]]的一种方法，最早由[[戈特弗里德·莱布尼茨]]发现，因此该方法通常也称为'''莱布尼茨判别法'''或'''莱布尼茨准则'''。

具有以下形式的级数

:<math> \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\!</math>

其中所有的''a''<sub>''n''</sub> [[负数|非负]]，被称作[[交错级数]]，如果当n趋于无穷时，[[数列]]''a''<sub>''n''</sub>的极限存在且等于0，并且每个''a''<sub>''n''</sub>小于或等于''a''<sub>''n-1''</sub>（即，数列''a''<sub>''n''</sub>是[[单调递减|单调递减的]]），那么级数收敛．如果''L''是级数的和
:<math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n = L\!</math>
那么部分和
:<math>S_k = \sum_{n=0}^k (-1)^n a_n\!</math>
逼近''L''有截断误差
:<math>\left | S_k - L \right \vert \le \left | S_k - S_{k-1} \right \vert = a_{k}\!</math>

==证明==
我们假设级数具有形式<math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\!</math>．当<math>n</math>趋于无穷时，[[数列]]<math>a_n</math>的极限等于0，并且每个  <math>a_n</math>小于或等于<math>a_{n-1}</math>（即<math>a_n</math>是[[单调递减]]数列）．<ref name="Beklemishev_2005">{{cite book|last=Beklemishev|first=Dmitry V.|title=Analytic geometry and linear algebra course|publisher=FIZMATLIT|year=2005|edition=10}}</ref>

===收敛性证明===

给定数列前 <math>(2n+1)</math> 项的[[部分和]] <math>S_{2n+1} = a_0  + \left( { - a_1  + a_2 } \right) + \left( { - a_3  + a_4 } \right) + \ldots + \left( { - a_{2n - 1}  + a_{2n} } \right) - a_{2n+1} </math>．由于每个括号内的和非正，并且 <math>a_{2n+1}  \geq 0</math> ，那么前 <math>(2n+1)</math> 项的[[部分和]]不大于 <math>a_0</math>.

并且每个[[部分和]]可写做 <math>S_{2n+1} = \left( {a_0  - a_1 } \right) + \left( {a_2  - a_3 } \right) + \ldots + \left( {a_{2n}  - a_{2n+1} } \right)</math>．每个括号内的和非负．因此，级数 <math>S_{2n+1} </math> 单调递增：对任何 <math>n \in N</math> 均有：<math>S_{2n+1}  \le S_{2n + 3} </math>.

结合以上两段论述，由[[单调收敛定理]]可得，存在数 <math>s</math> 使得  <math>\lim_{n \to \infty } S_{2n+1} = s</math>.

由于 <math>S_{2n} = S_{2n + 1} - a_{2n + 1}</math> 并且 <math>\lim_{n \to  \infty } a_n = 0</math> ，那么 <math>\lim_{n \to \infty } S_{2n} = s</math>．给定数列的和为 <math>\lim_{n \to \infty}S_{2n} = \lim_{n \to \infty}S_{2n + 1} = s</math> ，其中 <math>s</math> 为有限数，从而数列收敛．

===部分和截断误差的证明===
在收敛性的证明过程中，我们发现<math>S_{2n+1}</math>是单调递增的．由于<math>S_{2n} = a_0 +\left(-a_1 + a_2\right) + \ldots + \left(-a_{2n-1} + a_{2n}\right)</math>，并且括号中的每一项是非正的，这样可知<math>S_{2n}</math>是单调递减的．由先前的论述，<math>\lim_{n \to \infty}S_{2n} = L</math>，因此<math>S_{2n} \geq L</math>．类似的，由于<math>S_{2n+1}</math>是单调递增且收敛到<math>L</math>，我们有<math>S_{2n+1} \leq L</math>．因此我们有<math>S_{2n+1} \leq L \leq S_{2n}</math>对所有的n均成立．

因此如果k是奇数我们有<math>|L - S_k| = L - S_k \leq S_{k+1} - S_k = a_{k+1} \leq a_k</math>，而如果k是偶数我们有<math>|L-S_k| = S_k - L \leq S_k - S_{k-1} = a_k</math>．

== 参阅 ==
*[[狄利克雷判别法]]

== 图书资料 ==

* Knopp，Konrad，"Infinite Sequences and Series"，Dover publications，Inc.，New York，1956．(&sect; 3.4) ISBN 0-486-60153-6

* Whittaker，E．T.，and Watson，G．N.，''A Course in Modern Analysis''，fourth edition，Cambridge University Press，1963．(&sect; 2.3) ISBN 0-521-58807-3

* Last，Philip，"Sequences and Series"，New Science，Dublin，1979．(&sect; 3.4) ISBN 0-286-53154-3
==参考文献==

<references/>


[[Category:级数]]
[[Category:审敛法]]
[[Category:戈特弗里德·莱布尼茨]]