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[[数值分析]]中，'''交替方向隐式法'''（Alternating direction implicit method）是[[有限差分法]]的一种，用于求解[[抛物线型偏微分方程]]或[[椭圆型偏微分方程]]<ref>{{Citation | last1=Peaceman | first1=D. W. | last2=Rachford Jr. | first2=H. H. | title=The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations | id={{MathSciNet | id = 0071874}} | year=1955 | journal=Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics | volume=3 | pages=28–41}}.</ref>。特别适用于求解二维及更高维度的[[热传导方程]]与[[扩散方程]]。

求解热传导方程在传统上使用[[Crank-Nicolson方法]]，该方法较为耗时。ADI的优点在于，每一迭代步中，所求解的方程具有更为简单的结构，因此更易于求解。

== 方法 ==

考虑二维扩散方程,

: <math>{ \partial u \over \partial t} = 
\left( { \partial^2 u \over \partial x^2 } + { \partial^2 u \over \partial y^2 } \right) = 
( u_{xx} +u_{yy} ) \quad
</math>

隐式Crank-Nicolson方法将给出以下有限差分方程：

: <math>{ u_{ij}^{n+1}-u_{ij}^n \over \Delta t } =
{1 \over 2} \left( \delta_x^2 + \delta_y^2 \right) \left( u_{ij}^{n+1}+u_{ij}^n \right)
</math>

其中，<math>\delta_p</math>是关于坐标方向''p''上的中心差分算符。通过[[稳定性分析]]可以证明该方法对于任意<math>\Delta t</math>都表现稳定。

但是，Crank-Nicolson方法的缺点在于，上述方程中的带状矩阵分布过宽，这使得求解方程相当耗时。

ADI方法的思想在于将一个有限差分方程分割为两个，一个在''x''方向上隐式求导，另一个在''y''方向上隐式求导。

: <math>{u_{ij}^{n+1/2}-u_{ij}^n\over \Delta t/2} = 
\left(\delta_x^2 u_{ij}^{n+1/2}+\delta_y^2 u_{ij}^{n}\right)</math>

: <math>{u_{ij}^{n+1}-u_{ij}^{n+1/2}\over \Delta t/2} = 
\left(\delta_x^2 u_{ij}^{n+1/2}+\delta_y^2 u_{ij}^{n+1}\right).</math>

这样，该方程系统涉及一个对称阵和一个三角矩阵，可以用三对角阵的求解算法进行计算。

可以证明，二维条件下该方法无条件稳定<ref>{{Citation | last1=Douglas, Jr. | first1=J.  | title=On the numerical integration of u<sub>xx</sub>+ u<sub>yy</sub>= u<sub>tt</sub> by implicit methods | id={{MathSciNet | id = 0071875}} | year=1955 |  journal=Journal of the Society of  Industrial and Applied Mathematics | volume=3 | pages=42–65}}.
</ref>。

在此基础上扩展有更多的ADI方法，如Douglas<ref>{{Citation | last1=Douglas Jr. | first1=Jim | title=Alternating direction methods for three space variables | doi=10.1007/BF01386295 | year=1962 | journal=Numerische Mathematik | issn=0029-599X | volume=4 | pages=41–63}}.</ref>，f-factor方法<ref>{{Citation | last1=Chang | first1=M. J. | last2=Chow | first2=L. C. | last3=Chang | first3=W. S. | title=Improved alternating-direction implicit method for solving transient three-dimensional heat diffusion problems | doi=10.1080/10407799108944957 | year=1991 | journal=Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals | issn=1040-7790 | volume=19 | issue=1 | pages=69–84}}.</ref>，可用于求解三维及更高维的问题。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{數值偏微分方程}}

[[Category:数值分析]]