查看“︁交叉項”︁的源代码

{{NoteTA
|G1=Math
|zh-cn:信号; zh-hant:信號; zh-tw:訊號; zh-hk:訊號;
}}
{{Otheruses|subject=線性代數中的交叉項|other=統計和[[迴歸分析]]中的交互項|交互作用 (统计学)}}
在[[線性代數]]中，若[[二次型]]（quadratic form）中的項並非[[平方項]]，也就是說包含超過一個[[變數]]，這個項被稱為'''交叉項'''（cross-term）。

在[[信号处理]]領域中，交叉項通常指的是該項包含了兩個以上的元素（[[信號-量化雜訊比|信號]]），與之相對的則是自身項（auto-term），自身項中只包含一個元素。

通常在進行[[時頻分析]]時，我們都會希望盡量避免交叉項的產生，因為交叉項會使得多個[[訊號]]疊加的時頻分布的圖形變得難以解讀，不同訊號之間也會難以分離。

== 線性代數中的交叉項 ==
令 <math>x,y \in \R^n</math> ， <math>n</math> 是自然數 ，假設我們要展開 <math>(x+y)^T (x+y)</math> ，則經過計算可以得到：

<math>\begin{align}
(x+y)^T (x+y) &= x^T x + y^T x + x^T y + y^T y \\
              &= ||x||^2 + 2(x \cdot y) + ||y||^2 
\end{align}</math>

其中 <math>||x||^2</math> 和 <math>||y||^2</math> 都屬於自身項，因為它們分別只包含了一個變數；<math>2(x \cdot y)</math> 則是交叉項，因為它包含了 <math>x</math> 和 <math>y</math> 兩個元素。

== [[韋格納分佈|韋格納分布]]中的交叉項 ==
韋格納分布的定義如下：

<math>W_x(t,f) = \int^{\infty}_{-\infty}x(t+\frac{\tau}{2})x^*(t-\frac{\tau}{2})e^{-j2\pi \tau f} \cdot d\tau</math>

其中 <math>x
</math> 代表原始訊號、<math>t
</math> 是轉換後的時間軸座標、<math>f
</math> 是轉換後的頻率軸座標。若我們設 <math>x(t) = \alpha g(t) + \beta s(t)

</math>，並將韋格納分布的公式展開如下：

<math>\begin{align}
W_x(t,f) &= \int^{\infty}_{-\infty}x(t+\frac{\tau}{2})x^*(t-\frac{\tau}{2})e^{-j2\pi \tau f} \cdot d\tau \\
         &= \int^{\infty}_{-\infty} \big[ \alpha g(t+\frac{\tau}{2}) + \beta s(t+\frac{\tau}{2}) \big]  \big[ \alpha^* g^*(t-\frac{\tau}{2}) + \beta^* s^*(t-\frac{\tau}{2}) \big]e^{-j2\pi \tau f} \cdot d\tau \\
         &= \int^{\infty}_{-\infty} \big[ |\alpha|^2 g(t+\frac{\tau}{2})g^*(t-\frac{\tau}{2}) + |\beta|^2 s(t+\frac{\tau}{2})s^*(t-\frac{\tau}{2}) \\ &\quad + \alpha \beta^* g(t+\frac{\tau}{2})s^*(t-\frac{\tau}{2}) + \alpha^* \beta g^*(t-\frac{\tau}{2})s(t+\frac{\tau}{2}) \big]  e^{-j2\pi \tau f} \cdot d\tau \\
         &= |\alpha|^2 W_g(t,f)+|\beta|^2W_s(t,f) \\ &\quad + \int^{\infty}_{-\infty} \big[ \alpha \beta^* g(t+\frac{\tau}{2})s^*(t-\frac{\tau}{2}) + \alpha^* \beta g^*(t-\frac{\tau}{2})s(t+\frac{\tau}{2}) \big]  e^{-j2\pi \tau f} \cdot d\tau \\

\end{align}</math>

其中 <math>W_g
</math> 和 <math>W_s
</math> 就是自身項，剩下的積分項就是交叉項。

== 參見 ==

* Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2021.

[[Category:二次型]]
[[Category:信号处理]]