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'''交叉格拉姆矩陣'''（cross Gramian）是[[控制理论]]中的名詞，會用<math>W_X</math>或<math>W_{CO}</math>來表示，是用來判斷線性系統[[可控制性]]及[[可觀測性]]的[[格拉姆矩阵]]<ref name="FortunaFransca2012">{{cite book|last1=Fortuna|first1=Luigi|last2=Fransca|first2=Mattia|title=Optimal and Robust Control: Advanced Topics with MATLAB|url=https://books.google.com/books?id=WM3OzyHKlD4C&pg=PA83|accessdate=29 April 2013|year=2012|publisher=CRC Press|isbn=9781466501911|pages=83–}}</ref><ref name="antoulas05">{{cite book|last1=Antoulas|first1=Athanasios C.|title=Approximation of Large-Scale Dynamical Systems|url=https://dx.doi.org/10.1137/1.9780898718713|year=2005|publisher=SIAM|isbn=9780898715293}}</ref>。

針對線性的[[时不变系统|时不变]]線性系統 

:<math>\dot{x} = A x + B u \, </math>
:<math>y = C x \, </math>

其交叉格拉姆矩陣定義為：

:<math>W_X := \int_0^\infty e^{At} BC e^{At} dt \,</math>

也是以下[[西爾維斯特方程]]的解：

:<math>A W_X + W_X A = -BC \, </math>

三數組<math>(A,B,C)</math>有[[可控制性]]及[[可觀測性]]若且唯若<math>W_X</math>為[[非奇异方阵]]（也就是說，針對任意時間<math>t > 0</math>，<math>W_X</math>都有滿秩）。

若對應系統<math>(A,B,C)</math>是對稱的，也就是存在轉換矩陣<math>J</math>使下式成立

:<math>AJ = JA^T \, </math>
:<math>B = JC^T \, </math>

則交叉格拉姆矩陣的[[特征值]]绝对值會等於[[漢克爾奇異值]]<ref>{{Cite journal|last=Fernando|first=K.|last2=Nicholson|first2=H.|date=February 1983|title=On the structure of balanced and other principal representations of SISO systems|url=http://ieeexplore.ieee.org/document/1103195/|journal=IEEE Transactions on Automatic Control|volume=28|issue=2|pages=228–231|doi=10.1109/tac.1983.1103195|issn=0018-9286|access-date=2019-01-23|archive-date=2020-03-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20200313153203/https://ieeexplore.ieee.org/document/1103195/|dead-url=no}}</ref>：

:<math>|\lambda(W_X)| = \sqrt{\lambda(W_C W_O)}. \, </math>

因此交叉格拉姆矩陣的[[奇异值分解]]的直接截斷會允許{{link-en|模型降階|model order reduction}}<!-- (see [http://modelreduction.org]) without a balancing procedure as opposed to [[balanced truncation]].-->。

== 相關條目 ==
* [[可控制性格拉姆矩陣]]
* [[可观测性格拉姆矩阵]]
* [[格拉姆矩陣]]

== 參考資料 ==
{{Reflist}}
[[Category:系統理論]]
[[Category:矩陣]]
[[Category:行列式]]
[[Category:解析几何]]