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'''五邊形數定理'''是一個由[[歐拉]]發現的數學定理，描述[[歐拉函數 (複變函數)|歐拉函數]]<math>\phi(q)</math>展開式的特性<ref>原文為{{cite journal en 
| last=Euler 
| first=Leonhard 
| year=1775
| title=Evolutio producti infiniti <math>(1-x)(1-xx)(1-x^3)(1-x^4)(1-x^5)</math>  etc. in seriem simplicem
| journal= Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae
| volume= 1780
| pages= 47-55}}</ref>
<ref>
英文翻譯版為Bell, J在2004-12-4翻譯的《The Expansion of the Infinite Product <math>(1-x)(1-xx)(1-x^3)(1-x^4)(1-x^5)(1-x^6)</math> etc. into a Single Series》，[http://www.arxiv.org/abs/math.HO/0411454/.  http://www.arxiv.org/abs/math.HO/0411454/. ]
</ref>。歐拉函數的展開式如下：

:<math>\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kx^{\frac{k(3k-1)}{2}}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^kx^{\frac{k(3k\pm 1)}{2}}</math>

亦即

:<math>(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots.</math>

歐拉函數展開後，有些次方項被消去，只留下次方項為1, 2, 5, 7, 12, ...的項次，留下來的次方恰為[[廣義五邊形數]]。

若將上式視為[[幂級數]]，其收斂半徑為1，不過若只是當作[[形式冪級數]]來考慮，就不會考慮其收斂半徑。

==和分割函數的關係==
歐拉函數的倒數是[[整數分拆|分割函數]]的[[母函數]]，亦即：
:<math>\frac{1}{\phi(x)}=\sum_{k=0}^\infty p(k) x^k</math>
其中<math>p(k)</math>為k的分割函數。

上式配合五邊形數定理，可以得到
:<math>(1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots)(1 + p(1)x + p(2)x^2 + p(3)x^3 + \cdots)=1</math>

考慮<math>x^n</math>項的係數，在 n>0 時，等式右側的係數均為0，比較等式二側的係數，可得
:<math>p(n) - p(n-1) - p(n-2) + p(n-5) + p(n-7) + \cdots=0</math>

因此可得到分割函數p(n)的[[递归]]式
:<math>p(n) = p(n-1) + p(n-2) - p(n-5) - p(n-7) + \cdots</math>

以n=10為例
:<math>p(10) = p(9) + p(8) - p(5) - p(3) = 30 + 22 - 7 -  3 = 42</math>

==參考資料==
{{reflist}}


==外部連結==
* [https://web.archive.org/web/20080422070407/http://front.math.ucdavis.edu/math.HO/0510054 Euler and the pentagonal number theorem]
* [http://www.mathpages.com/home/kmath623/kmath623.htm On Euler's Pentagonal Theorem]{{Wayback|url=http://www.mathpages.com/home/kmath623/kmath623.htm |date=20200131233729 }} at MathPages
* [http://mathworld.wolfram.com/PentagonalNumberTheorem.htmlPentagonal Number Theorem.]{{dead link|date=2017年11月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} at MathWorld
*[http://pages.uoregon.edu/koch/PentagonalNumbers.pdf The Pentagonal Number Theorem and All That]{{Wayback|url=http://pages.uoregon.edu/koch/PentagonalNumbers.pdf |date=20201112033615 }} from Dick Koch. 
{{有形數}}

{{Numtheory-stub}}

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[[Category:包含证明的条目]]
[[Category:整数划分]]