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{{NoteTA
|G1=物理學
|1=zh-hant:電機工程;zh-hans:电气工程
}}
在[[电磁学]]中，'''互易定理'''是[[电磁场]]理论的重要定理。由[[洛伦兹]]首先发现了一个定义在闭合曲面上的电磁场公式。后来Rayleigh-Carson又进一步把定理发展称为我们今天看到的形式，定义在一个体积分上。

==互易定理的陈述==
===洛伦兹的贡献===
假定有电磁场<math>[\mathbf{E}_1,\mathbf{H}_1]</math> 和电磁场<math>[\mathbf{E}_2,\mathbf{H}_2]</math> 都是由曲面内的电流元产生的辐射场。这里假定计算是在频域或者傅里叶变换域。我们在电磁场公式中省写了<math>\omega</math>。

洛伦兹发现如下形式的互易定理

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = {{oiint
| preintegral = 
| intsubscpt = <math>\scriptstyle \partial V</math>
| integrand = <math> (\mathbf{E}_1 \times \mathbf{H}_2 - \mathbf{E}_2  \times \mathbf{H}_1)\cdot d\mathbf{A} =0</math>
}}
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

注意：上面强调两个电磁场都是辐射场，其实是说这两个场都必须是[[滞后波]]。如果其中一个是[[超前波]]，一个是滞后波上述曲面积分不为零。

===Rayleigh-Carson的贡献===
假设<math>[\mathbf{E}_1,\mathbf{H}_1]</math>的电流元为：<math>\mathbf{J}_1</math> 
假设<math>[\mathbf{E}_2,\mathbf{H}_2]</math>的电流元为：<math>\mathbf{J}_2</math> 

Rayleigh-Carson的贡献为<ref name="Rayleigh 1900 reciprocity">Rayleigh, Lord (1900). On the law of reciprocity in diffuse reflection, ''Phil. Mag.'' series 5, '''49''': 324-325.</ref>
，

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math>   \int_{V1} (\mathbf{E}_2  \cdot \mathbf{J}_1) dV=\int_{V2} (\mathbf{E}_1 \cdot  \mathbf{J}_2) dV</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

=== 电路中的互易定理 ===

上面公式反映在电路理论中就为，

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math>   \mathbf{V}_2  \cdot \mathbf{I}_1= \mathbf{V}_1 \cdot  \mathbf{I}_2</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

其中
<math>   \mathbf{V}_2 </math> 是电流 <math>\mathbf{I}_2 </math>在电流<math>\mathbf{I}_1 </math> 处产生的电动势。
测量<math>   \mathbf{V}_2 </math> 时可将电流元<math>\mathbf{I}_1 </math>处电路开路。
<math>   \mathbf{V}_1 </math> 是电流 <math>\mathbf{I}_1 </math>在电流<math>\mathbf{I}_2 </math> 处产生的电动势。
测量<math>   \mathbf{V}_1 </math> 时可将电流元<math>\mathbf{I}_2 </math>处电路开路。

===互易定理的一般形式===
今天我们把如下一般形式的互易定量称为洛伦兹互易定理，

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = {{oiint
| preintegral = 
| intsubscpt = <math>\scriptstyle \partial V</math>
| integrand = <math> (\mathbf{E}_1 \times \mathbf{H}_2 - \mathbf{E}_2  \times \mathbf{H}_1)\cdot d\mathbf{A} </math>
}}
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|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math>  = \int_V (-\mathbf{E}_1 \cdot  \mathbf{J}_2 +\mathbf{E}_2  \cdot \mathbf{J}_1) dV dt</math>
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|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

在上述一般形式互易定理中考虑洛伦兹的贡献即可得到Rayleigh-Carson的贡献的贡献。互易定理的一般形式也常常被称为洛伦兹互易定理。

== 互易定理的推导 ==
由麦克斯韦方程可直接推导互易定理。但是因为这样的推导比较繁琐，也不能体现电磁场定理之间的关系。此处用另一种思路来推导互易定理。
从麦克斯韦方程出发可以推导[[坡印廷定理]],坡印廷定理可以推导互能定理。麦克斯韦方程可以推导共轭变化，[[互能定理]]同共轭变换可以推导洛伦兹互易定理。

===电磁场共轭变换===
电磁场[[共轭变换]]
<math>
\mathbf{R}
</math>
在时域定义如下
（{{lang|en|Jin Au Kong}}）<ref name="Kong">{{cite journal
| author=Kong, J.A. 
| authorlink=
| year=1975
| journal=AA(MIT, Cambridge, Mass): New York, Wiley-Interscience,
| volume=
| pages=
| title=Theory of electromagnetic waves
| }}
</ref>：

<math>
\mathbf{R}[\mathbf{E}(t),\mathbf{H}(t),\mathbf{J}(t),\mathbf{K}(t),\epsilon(t),\mu(t)] = [\mathbf{E}(-t),-\mathbf{H}(-t),-\mathbf{J}(-t),\mathbf{K}(-t),\epsilon(-t),\mu(-t)]
</math>

在频域定义如下，
<math>
\mathbf{R}[\mathbf{E}(\omega),\mathbf{H}(\omega),\mathbf{J}(\omega),\mathbf{K}(\omega),\epsilon(\omega),\mu(\omega)] = [\mathbf{E}^*(\omega),-\mathbf{H}^*(\omega),-\mathbf{J}^*(\omega)(\omega),\mathbf{K}^*(\omega),\epsilon^*(\omega),\mu^*(\omega)]
</math>

其中
<math>
\mathbf{K}
</math>
为磁流密度。
共轭变换不是像傅里叶变换那样的数学变换,一个公式经过数学变换它的物理性质没有变化。共轭变换是一个物理变换。一个电磁场在共轭变换前满足[[麦克斯韦方程]]，则变换后仍满足麦克斯韦方程。共轭变换把[[滞后波]]变成[[超前波]]，把超前波变成滞后波。一个电磁场的定理经过共轭变换以后仍然是一个电磁场的定理，但是其物理性质会发生变化，因此会成为一个新的物理定理。

===互易定理同[[互能定理]]的关系===
对互能定理两个电磁场之一，比如 <math>\mathbf{E}_2,\mathbf{H}_2 </math> 作共轭变换可得洛伦兹互易定理。
反之，
对洛伦兹互易定理两个电磁场之一，比如 <math>\mathbf{E}_2,\mathbf{H}_2 </math> 作共轭变换可得互能定理。尽管两个定理有上述紧密的联系，它们是两个完全独立的定理。洛伦兹互易定理用于处理两个电流源它们都产生滞后波的情况。互能定理用于一个源产生滞后波，另一个源产生超前波。

由此我们完成了[[麦克斯韦方程]] 到 [[坡印廷定理]] 到 [[互能定理]] 到 洛伦兹互易定理的证明。

== 参见 ==
* [[经典电磁学]]

== 参考文献 ==
===引用===
{{reflist}}
===來源===
* H. A. Lorentz, [http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/lorentz_vkaw_4_176_96.pdf "The theorem of Poynting concerning the energy in the electromagnetic field and two general propositions concerning the propagation of light,"]{{dead link|date=2018年5月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} ''Amsterdammer Akademie der Wetenschappen'' '''4''' p.&nbsp;176 (1896).
* J. R. Carson, [https://archive.org/stream/bell00systemtechniamervol3rich#page/392/mode/2up "A generalization of reciprocal theorem,"] ''Bell System Technical Journal'' '''3''' (3), 393-399 (1924).  Also J. R. Carson, [https://archive.org/stream/bstj9-2-325#page/n0/mode/2up "The reciprocal energy theorem,"] ''ibid''. '''9''' (4), 325-331 (1930).

==外部链接==

{{电磁学}}
{{Quantum mechanics topics}}
[[Category:电磁学]]
[[Category:电动力学|B]]
[[Category:物理定理|B]]