查看“︁二次方程”︁的源代码

{{Refimprove|time=2014-05-28T10:01:13+00:00}}
{{NoteTA
|G1 = Math
}}
'''二次方程'''是一种[[整式]][[方程]]，主要特点是未知项的最高次数是2，其中最常见的是[[一元二次方程]]<ref>{{Cite web |url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-HZSZ198003014.htm |title=一般二次方程的讨论 |accessdate=2012-12-29 |archive-date=2019-07-24 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190724102901/http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-HZSZ198003014.htm |dead-url=no }} {{Wayback|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-HZSZ198003014.htm |date=20190724102901 }}</ref>。

==一元二次方程==
{{further|一元二次方程}}
===方程的一般形式===
一元二次方程是指只含有一个[[未知数]]的二次方程，它的一般形式为：<math>ax^2+bx+c=0\,</math>，其中 <math>a\ne 0</math>。<math>ax^2\,</math>为方程的二次项，<math>a\,</math>为方程的二次项[[系数]]；<math>bx\,</math>为一次项，<math>b\,</math>为一次项系数；<math>c\,</math>为[[常数]]项。若<math>a=0\,</math>，则该方程没有二次项，即退变为一元[[一次方程]]。

=== 求根公式 ===
[[Image:Quadratic equation discriminant.png|thumb|right|
<span style="color:#0081cd">■</span><math>y=\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{4}{3}\,</math><br />

<span style="color:#bc1e47">■</span><math>y=-\frac{4}{3}x^2+\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}\,</math><br />

<span style="color:#FFE600">■</span><math>y=x^2+\frac{1}{2}\,</math><br />
]]

一元二次方程根的判别式為<math> \Delta=b^2-4ac\,</math>。

若<math>\Delta>0\,</math>，則該方程有两個不相等的[[實数]]根：
<math>x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\,</math>；

若<math>\Delta=0\,</math>，則該方程有两個相等的實数根：
<math>x_{1,2} = -\frac{b}{2a}\,</math>；

若<math>\Delta<0\,</math>，則該方程有一對[[共軛複數]]根：
<math>x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\,</math>。

由上可知，在實數範圍內求解一元二次方程，當<math>\Delta\geq0\,</math>時，方程纔有根（有兩個不等實數根或兩個相等實數根）；當<math>\Delta<0\,</math>時，方程有两个复数根，但是在实数范围无解。

=== 根与系数的关系 ===
{{See|韦达定理}}

设<math>x_1\,</math>，<math>x_2\,</math>是一元二次方程 <math>ax^2+bx+c=0\,</math> （<math>a\ne0\,</math> ）的两根，则

两根之和：<math>x_1+x_2=-\frac{b}{a}</math>

两根之积：<math>x_1x_2=\frac{c}{a}</math>

===求根公式的由来===

[[中亚细亚]]的[[花拉子米]] (约780-约850) 在公元820年左右出版了《[[代数学]]》。书中给出了一元二次方程的求根公式，并把方程的未知数叫做「根」，其后译成拉丁文''radix''。 

我们通常把 <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> 称之为 <math>ax^2+bx+c=0\,</math> 的求根公式：<br>
<br>
<math display="block">
\begin{align}
ax^2+bx+c&=0 \\
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}&=0 \\
x^2+\frac{b}{a}x+\left (\frac{b}{2a}  \right )^2-\left (\frac{b}{2a}  \right )^2+\frac{c}{a}&=0 \\
\left (x+\frac{b}{2a}  \right )^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}&=0 \\
\left (x+\frac{b}{2a}  \right )^2&=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a} \\
\left (x+\frac{b}{2a}  \right )^2&=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \\
x+\frac{b}{2a}&=\frac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\
x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align}
</math>
{{clear}}
或不將<math>x^2</math>係數化為1：
{{clear}}
<math display="block">
\begin{align}
ax^2+bx+c&=0 \\
ax^2+bx+ \left (\frac{b}{2\sqrt{a}} \right)^2&=\left (\frac{b}{2\sqrt{a}} \right)^2 - c \\
\left (x\sqrt{a}+\frac{b}{2\sqrt{a}} \right)^2&=\left (\frac{b}{2\sqrt{a}} \right)^2 - c \\
x\sqrt{a}+\frac{b}{2\sqrt{a}}&=\pm\sqrt{\left (\frac{b}{2\sqrt{a}} \right)^2 - c} \\
x\sqrt{a}+\frac{b}{2\sqrt{a}}&=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a} - c} \\
x+\frac{b}{2a}&=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}} \\
x+\frac{b}{2a}&=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2}} \\
x&=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \\
x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align}
</math>

=== 对应函数的极值 ===
设 <math>y=ax^2+bx+c\,</math>（<math>a \ne 0\,</math>），<br>
对<math>x\,</math>求导，得
<br>
:<math>\frac{\mathop{\mbox{d}}y}{\mathop{\mbox{d}}x} = 2ax+b</math><br>
令 <math>\frac{\mathop{\mbox{d}}y}{\mathop{\mbox{d}}x}=0</math>，得<br>
:<math>
\begin{align}x&=-\frac{b}{2a}
\end{align}
</math><br>
即为 <math>y\,</math>的[[极值]]点，该式亦为函数图形（即[[抛物线]]）的对称轴方程。
将 <math>x=-\frac{b}{2a}</math> 代入 <math>y\,</math>，可得
<br>
:<math>
\begin{align}
y&=-\frac{b^2-4ac}{4a}
\end{align}
</math><br>
即为 <math>y\,</math> 的极值。

根据函数取极值的[[充分条件]]，即：<br />
<math>f''(x)<0\,</math>，<math>x\,</math>是<math>f(x)\,</math> 的[[极大值点]]，<br />
<math>f''(x)>0\,</math>，<math>x\,</math>是<math>f(x)\,</math> 的[[极小值点]]；<br />
由<math>\frac{\mathop{\mbox{d}}^2y}{\mathop{\mbox{d}}x^2}=2a</math>，可知：<br />
当<math>a<0\,</math>时（抛物线开口向下），<math>x=-\frac{b}{2a}</math>为<math>y\,</math>的极大值点；<br />
当<math>a>0\,</math>时（抛物线开口向上），<math>x=-\frac{b}{2a}</math>为<math>y\,</math>的极小值点。<br />

==參見==
*[[一次方程]]
*[[抛物綫]]
*[[配方法]]
*[[圆锥曲线]]

==参考==
<references/>

{{多項式}}
[[Category:初等代數|E]]
[[Category:方程|E]]
[[Category:多項式]]