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在数学中，'''二次变差'''（{{lang-en|Quadratic variation}}）用于分析[[随机过程]]，例如[[维纳过程|布朗运动]]和[[鞅 (概率论)|鞅]]。二次变差是[[总变差|变差]]的一种。

== 定义 ==
设<math>X_t</math>是定义在[[概率空間|概率空间]]<math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math>上的实值随机过程，时间t取非负实数。其二次变差也是一个随机过程，记做<math>[X]_t</math>，定义为

<math>[X]_t=\lim_{\|P\|\to 0}{\sum_{k=1}^n{(X_{t_k}-X_{t_{k-1}})^2}}</math>

其中P取遍区间[0,t]所有的划分，范数<math>\|P\|</math>等于P中最长的子区间的长度，极限使用依概率收敛来定义。

更一般地，两个过程X和Y的'''协变差'''（或称'''互变差'''）为

<math>[X,Y]_t=\lim_{\|P\|\to 0}{\sum_{k=1}^n{(X_{t_k}-X_{t_{k-1}})(Y_{t_k}-Y_{t_{k-1}})}}</math>

用[[极化恒等式]]可以把协变差用二次变差表示出来

<math>[X,Y]_t=\frac 12([X+Y]_t-[X]_t-[Y]_t)</math>

== 有限变差过程 ==
随机过程X如果在任意有限区间上都是[[有界变差]]的（以概率1成立），则称X是'''有限变差'''的。这样的过程非常常见，尤其是包括所有的连续可微函数。对所有的连续有限变差过程，二次变差都存在且等于0。

这个结论可以推广到不连续的情况。对[[右连左极函数|右连左极]]的有限变差过程，其二次变差等于间断点处跳跃值的平方和。具体来说，记X在t处的左极限为<math>X_{t^-}</math>，X在t处的跳跃记为<math>\Delta X_t=X_t-X_{t^-}</math>。则二次变差为

<math>[X]_t=\sum_{0<s\le t}{(\Delta X_s)^2}</math>

要证明连续的有限变差过程的二次变差为0，需使用以下不等式，其中P是区间[0,t]的划分，<math>V_t(X)
</math>是X在[0,t]上的变差。

<math>
\begin{align} \sum_{k=1}^n{(X_{t_k}-X_{t_{k-1}})^2} &\le \max_{k\le n}{|X_{t_k}-X_{t_{k-1}}|}\sum_{k=1}^n{|X_{t_k}-X_{t_{k-1}}|} 
\\ & \le \max_{|u-v|\le \|P\|}{|X_u-X_v|}V_t(X) \\ \end{align} 
</math>

由X的连续性，这在<math>\|P\|</math>趋于0时的极限也趋于0。

== 伊藤过程 ==
标准[[维纳过程|布朗运动]]的二次变差存在，为<math>[B]_t=t
</math>。这可以推广到[[伊藤過程|伊藤过程]]。根据定义，伊藤过程可以用[[伊藤积分]]表示为

<math>
\begin{align} X_t &= X_0+\int_0^t{\sigma_s dB_s}+\int_0^t{\mu_s d[B]_s} 
\\ & = X_0+\int_0^t{\sigma_s dB_s}+\int_0^t{\mu_sds} \\ \end{align}
</math>

其中B是标准布朗运动。这样的过程，二次变差为

<math>
[X]_t=\int_0^t{\sigma_s^2ds}
</math>

== 半鞅 ==
可以证明所有的[[半鞅]]都有二次变差和协变差。这是随机微积分理论的重要部分，出现在[[伊藤引理]]中。二次协变差也出现在分部积分公式中

<math>
X_tY_t=X_0Y_0+\int_0^t{X_{s^-}dY_s}+\int_0^t{Y_{s^-}dX_s}+[X,Y]_t
</math>

这可用来计算[X,Y]。

上式也可写成随机微分方程的形式：

<math>
dX_tY_t = X_{t^-}dY_t+Y_{t^-}dX_t+dX_tdY_t
</math>

其中<math>
dX_tdY_t=d[X,Y]_t
</math>

== 鞅 ==
[[右连左极函数|右连左极]]鞅和[[局部鞅]]的二次变差都有定义，因为它们都是半鞅。局部平方可积鞅M的二次变差[M]是从0开始的右连续的增过程，跳跃值<math>
\Delta[M] = \Delta M^2
</math>，使得<math>
M^2-[M]
</math>是局部鞅。Karandikar-Rao(2014)给出了[M]存在的一个证明（不使用随机微积分）。

[[平方可積函數|平方可积]]鞅有一个有用的结论，可用来计算伊藤积分的变差

<math>
\mathbb{E}\left(\int_0^t{HdM}\right)^2 = \mathbb{E}\int_0^t{H^2d[M]}
</math>

只要M是右连左极平方可积鞅且H是有界[[可预测过程]]，这个结论总是成立的，常用于构造伊藤积分。

还有一个重要结论是'''Burkholder-Davis-Gundy不等式'''，用二次变差给出了鞅的最大值的上下界。对从0开始的局部鞅，最大值记为<math>
M_t^* \equiv \sup_{s\le t}{|M_s|}
</math>，对任意实数<math>
p\ge 1
</math>

<math>
c_p\mathbb{E}[M]_t^{p/2}\le\mathbb{E}(M_t^*)^p\le C_p\mathbb{E}[M]_t^{p/2}
</math>

式中<math>
c_p\le C_p
</math>是依赖于p的常数，但不依赖于选取的鞅M和时间t。若M是连续局部鞅，则不等式对任何p>0都成立。

另一种变差，'''可预测二次变差'''有时用于局部平方可积鞅，记做<math>
\langle M\rangle_t
</math>，定义为从0开始的右连续且递增的可预测过程，使得<math>
M^2-\langle M\rangle
</math>是局部鞅。其存在性可由Doob-Meyer分解定理得到。对连续局部鞅，可预测二次变差就等于二次变差。

== 另见 ==

* [[总变差]]
* [[有界变差]]

== 参考资料 ==

* Pr<span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Stochastic+Integration+and+Differential+Equations&rft.edition=2nd&rft.pub=Springer&rft.date=2004&rft.isbn=978-3-540-00313-7&rft.aulast=Protter&rft.aufirst=Philip+E.&rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3AQuadratic+variation" class="Z3988"></span>otter, Philip E. (2004), ''Stochastic Integration and Differential Equations'' (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-540-00313-7
* Karandikar, Rajeeva L.; Rao, B. V. (2014). "On quadratic variation of martingales". ''Proceedings - Mathematical Sciences''. '''124''' (3): 457–469.

[[Category:随机过程]]