查看“︁二次函数”︁的源代码

{{Refimprove|time=2024-07-03T15:55:50+00:00}}
{{noteTA|G1=数学}}
[[Image:Polynomialdeg2.svg|thumb|right|<center>解析式：<math>f(x) = x^2 - x - 2\,\!</math><center>]]
在[[数学]]中，'''二次函数'''（[[英語]]：quadratic function）表示形为 <math>f(x)=ax^2+bx+c \,\!</math>（<math>a \ne 0 \,\!</math>，且<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>是常数）的[[多项式函数]]，其中，<math>x</math>为自变量{{efn|注：自变量<math>x</math>的取值范围为任何实数}}，<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次函数的[[函数图像|图像]]是一条主轴平行于<math>y</math>轴的[[抛物线]]。<ref name="数学">{{cite book|author=|title=数学|year=2014|publisher=北京师范大学出版社|location=北京|isbn=9787303136933|url=|pages=|access-date=2015-08-05|archive-date=2018-08-08|archive-url=|dead-url=}}</ref>

二次函数[[表达式]]<math>ax^2+bx+c</math>的定义是一个二次[[多项式]]，因为<math>x</math>的最高[[冪次]]是2。

如果令二次函数的值等于零，则可得一个[[一元二次方程式]]、[[二次方程式]]。该方程的解称为方程的[[根 (数学)|根]]或函数的零点。

== 历史 ==
大约在公元前480年，[[古巴比伦]]人和[[中国]]人已经使用[[配方]]法求得了[[二次方程]]的正根，但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右，[[欧几里得]]提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世纪印度的[[婆罗摩笈多]]是第一位懂得用使用代数方程的人，它同时容许有正负数的根。{{efn|参见[[婆羅摩笈多#代數]]}}

11世纪[[阿拉伯]]的[[花拉子米]]独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作''Liber embadorum''，首次将完整的[[一元二次方程]]解法传入[[欧洲]]。{{efn|参见[[花拉子米#代數]]}}

== 根 ==
{{Further|二次方程|韦达定理}}

二次方程 <math>ax^2+bx+c=0\,\!</math> 的两个[[根 (数学)|根]]为：<math display="block">x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math>解方程后，我们会得到两个根：<math>x_1</math>和<math>x_2</math>。则[[点]]<math>(x_1,0)</math>和<math>(x_2,0)</math>就是二次函数与<math>x</math>轴的[[交點|交点]]。根的[[类型]]如下：

* 设<math>\Delta = b^2-4ac \,</math>為一元二次方程式的[[判別式]]，又記作D。
* 當<math>\Delta > 0\,\!</math>，则方程有两个[[不相等]]的根，也即与<math>x</math>轴有两个不{{tsl|en|superimpose|重疊}}的交点，因为<math>\sqrt{\Delta}</math>是正数。
* 當<math>\Delta = 0\,\!</math>，则方程有两个[[相等]]的根，也即与<math>x</math>轴有一个[[切点]]，因为<math>\sqrt{\Delta}</math>是零。
* 當<math>\Delta < 0\,\!</math>，则方程没有[[實數]]根，也即与 <math>x</math> 轴没有交点，因为<math>\sqrt{\Delta}</math>是[[共轭复数|共軛複數]]。

设<math> r_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} </math>和<math> r_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} </math>，我们可以把<math> a x^2 + b x + c \,\!</math>[[因式分解]]为<math> a(x - r_1)(x - r_2)\,\!</math>。

== 二次函数的形式 ==
二次函数可以表示成以下三种形式：
* <math>f(x) = a x^2 + b x + c \,\!</math> 称为'''一般形式'''或'''多项式形式'''。
* <math>f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)\,\!</math> 称为'''因子形式'''或'''交点式'''，其中<math>r_1</math>和<math>r_2</math>是二次方程的两个根，<math>(r_1,0)</math>,<math>(r_2,0)</math> 是[[抛物线]]与<math>x</math>轴的两个交点。
* <math>f(x) = a(x - h)^2 + k \,\!</math> 称为'''标准形式'''或'''顶点形式'''，<math>(h,k)</math>即為此二次函數的頂點。

把一般形式转换成因子形式时，我们需要用求根公式来算出两个根<math>r_1</math>和<math>r_2</math>，或是利用十字交乘法（適用於有理數）。把一般形式转换成标准形式时，我们需要用[[配方法]]。把因子形式转换成一般形式时，我们需要把两个因式相乘并展开。把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。

<math>h</math>代表了二次函數的對稱軸，因此兩根的[[平均数|平均數]]即為<math>h</math>

*<math>k</math>展開後比較後可得 <math>k=-a\left(\frac{|r_1-r_2|}{2}\right)^2</math>

不通過<math>r_1</math>和<math>r_2</math>求<math>k</math>及<math>h</math>公式：

*<math>h = - \frac{b}{2a}</math>
*<math>k = -\frac{b^2-4ac}{4a}</math> (也作<math>k = \frac{4ac-b^2}{4a}</math>)

而在三種形式中皆出現的<math>a</math>為此二次函數的領導係數，決定二次函數圖像開口的大小與方向。

== 图像 ==
[[Image:Function ax^2.svg|thumb|350px|<math>f(x) = ax^2 |_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}</math>]]
[[Image:Function x^2+bx.svg|thumb|350px|<math>f(x) = x^2 + bx |_{b=\{1,2,3,4\}}</math>]]
[[Image:Function x^2-bx.svg|thumb|350px|<math>f(x) = x^2 + bx |_{b=\{-1,-2,-3,-4\}}</math>]]

*系数<math>a</math>控制了二次函数从顶点的增长（或下降）速度，即二次函数开口方向和大小。<math>|a|</math>越大，开口越小，函数就增长得越快。
*系数<math>b</math>和<math>a</math>控制了抛物线的对称轴（以及顶点的<math>x</math>坐标）。
*系数<math>b</math>控制了抛物线穿过<math>y</math>轴时的倾斜度（[[导数]]）。
*系数<math>c</math>控制了抛物线最低点或最高点的高度，它是抛物线与<math>y</math>轴的交点。

{|class="wikitable"
! 函数
! colspan=3 | 图像
! 函数变化
! 对称轴
! 开口方向
! 最大（小）值
|-
|<math>y=ax^2</math> || <math>a>0</math> ||colspan=2 | [[Image:Function ax^2.svg|thumb]] || 当<math>x>0</math>时，<math>y</math>随<math>x</math>的增大而增大；<br>当<math>x<0</math>时，<math>y</math>随<math>x</math> 的减小而增大 ||<math>y</math>轴<br>或<math>x=0</math>|| 向上||<math>0</math>
|-
|<math>y=ax^2</math> || <math>a<0</math> || colspan=2 |[[File:二次函数图像_a小于0.png]] || 当<math>x>0</math>时，<math>y</math>随<math>x</math> 的增大而减小；<br>当<math>x<0</math>时，<math>y</math>随<math>x</math> 的减小而减小 ||<math>y</math>轴<br>或<math>x=0</math>|| 向下||<math>0</math>
|-
|<math>y=ax^2+c</math> || <math>a>0</math> || colspan=2 |[[File:二次函数图像_a大于0_c不为0.png]] || 当<math>x>0</math>时，<math>y</math>随<math>x</math> 的增大而增大；<br>当<math>x<0</math>时，<math>y</math>随<math>x</math> 的减小而增大 ||<math>y</math>轴<br>或<math>x=0</math>|| 向上 ||<math>c</math>
|-
|<math>y=ax^2+c</math> || <math>a<0</math> || colspan=2 |[[file:二次函数图像_a小于0_c不为0.png]] ||当<math>x>0</math>时，<math>y</math>随<math>x</math>的增大而减小；<br>当<math>x<0</math>时，<math>y</math>随<math>x</math> 的减小而减小 ||<math>y</math> 轴<br>或 <math>x=0</math>|| 向下||<math>c</math>
|-
|<math>y=ax^2+bx+c</math> || <math>a>0</math> ||colspan=2 |[[file:Y=ax^2+bx+c a大于0.png]] ||当<math>x>-\frac{b}{2a}</math>时，<math>y</math> 随<math>x</math>的增大而增大；<br>当<math>x<-\frac{b}{2a}</math>时，<math>y</math>随<math>x</math>的减小而增大 ||<math>x=-\frac{b}{2a}</math> || 向上 ||<math> -\frac{b^2-4ac}{4 a}</math>
|-
|<math>y=ax^2+bx+c</math> || <math>a<0</math> ||colspan=2 |[[file:Y=ax^2+bx+c_a小于0.png]] ||当<math>x>-\frac{b}{2a}</math>时，<math>y</math> 随<math>x</math>的增大而减小；<br>当<math>x<-\frac{b}{2a}</math>时，<math>y</math>随<math>x</math>的减小而减小 ||<math>x=-\frac{b}{2a}</math> || 向下 ||<math> -\frac{b^2-4ac}{4 a}</math>
|}

=== ''x'' 截距 ===
当函数与<math>x</math>轴有两个交点时，设这两个交点分别为 <math>A(x_1,0),\, B(x_2,0)</math>，由根与系数的关系得出{{efn|参见[[韦达定理]]}}：<math>x_1+x_2=-\frac{b}{a} </math>和<math>x_1x_2=\frac{c}{a}</math>

:<math>
\begin{align}\therefore AB&=|x_2-x_1| \\
&=\left|\sqrt{(x_2-x_1)^2}\right| \\
&=\left|\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\right| \\
&=\left|\sqrt{\left(-\frac{b}{a}\right)^2-\frac{4c}{a}}\right| \\
&=\left|\sqrt{\frac{b^2}{a^2}-\frac{4ac}{a^2}}\right| \\
&=\left|\sqrt{\frac{b^2-4ac}{a^2}}\right| \\
&=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|} \ \ \ \ \text{或} \ \ \ \ \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}\end{align}</math>

=== 顶点 ===

抛物线的顶点是它转弯的地方，也称为[[驻点]]。如果二次函数是标准形式，则顶点为<math>(h, k)\,\!</math>。用配方法，可以把一般形式<math>f(x) = a x^2 + b x + c \,\!</math>化为：<math display="block"> f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac-b^2}{4 a}</math><ref name="初中代数41讲">{{cite book |author=贾士代 |title=初中代数41讲 |year= |publisher=首都师范大学出版社 |location=北京 |isbn=7-81039-028-7 |url= |pages=49-55}}</ref><ref>{{Cite web |url=http://www.webgraphing.com/quadraticequation_completingthesquare.jsp |title=WebGraphing.com 用配方法解一元二次方程 |accessdate=2015-08-06 |archive-date=2015-07-29 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150729171230/http://www.webgraphing.com/quadraticequation_completingthesquare.jsp |dead-url=no }} {{Wayback|url=http://www.webgraphing.com/quadraticequation_completingthesquare.jsp |date=20150729171230 }}</ref>

因此在一般形式中，抛物线的顶点是：<math display="block"> \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4 a}\right)</math>如果二次函数是因子形式<math>f(x) = a(x - r_1)(x - r_2) \,\!</math>，则两个根的[[平均数]]<math display="block">\frac{r_1 + r_2}{2} \,\!</math>就是顶点的<math>x</math>坐标，因此顶点位于<math display="block"> \left(\frac{r_1 + r_2}{2}, f(\frac{r_1 + r_2}{2})\right)\!</math><math>a < 0 \,\!</math>时，顶点也是最大值；<math>a > 0 \,\!</math>时，则是最小值。

经过顶点的竖直线<math display="block"> x=h=-\frac{b}{2a} </math>又称为抛物线的对称轴。

=== 最大值和最小值 ===
==== 導數法 ====
函数的最大值和最小值总是在驻点（又称临界点，稳定点）取得。以下的方法是用[[导数法]]来推导相同的事实，这种方法的好处是适用于更一般的函数。

设有函数<math>f(x) = ax^2 + bx + c \,\!</math>，寻找它的[[极值|極值]]时，我们必须先求出它的[[导数]]：<math display="block">f(x)=ax^2+bx+c \Leftrightarrow \,\! f'(x)=2ax+b \,\!</math>然后，求出<math>f'(x)\,\!</math>的根：<math display="block">2ax+b=0 \Rightarrow \,\! 2ax=-b \Rightarrow\,\! x=-\frac{b}{2a}</math>因此，<math>-\frac{b} {2a}</math>是<math>f(x)\,\!</math>的<math>x\,\!</math>值。现在，为了求出<math>y\,\!</math>，我们把<math>x = -\frac{b} {2a}</math>代入 <math>f(x)\,\!</math>：<math display="block">y=a \left (-\frac{b}{2a} \right)^2+b \left (-\frac{b}{2a} \right)+c\Rightarrow y= \frac{ab^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow y= \frac{b^2}{4a}  - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow y= \frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} \Rightarrow y= \frac{-b^2+4ac}{4a} \Rightarrow y= -\frac{(b^2-4ac)}{4a} \Rightarrow y= -\frac{\Delta}{4a}</math>所以，最大值或最小值的坐标为：<math display="block"> \left (-\frac {b}{2a}, -\frac {\Delta}{4a} \right)</math>

==== 配方法 ====
<math>
\begin{align}
f(x) &= ax^2+bx+c \\
&= a(x^2+\frac{b}{a}x)+c \\
&= a \left[ x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 \right]+c-a(\frac{b}{2a})^2 \\
&= a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac}{4a}-\frac{b^2}{4a}\\
&= a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a} \\
\end{align}
</math>

由於實數的二次方皆大於等於0，因此當<math>x=-\frac{b}{2a}</math>時，<math>f(x)</math>有最大或最小值<math>\frac{4ac-b^2}{4a}</math>。

== 二次函数的平方根 ==
二次函数的平方根的图像要么是[[椭圆]]，要么是[[双曲线]]。如果<math>a>0\,\!</math>，则方程<math> y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c} </math>描述了一条双曲线。该双曲线的轴由对应的抛物线<math> y_p = a x^2 + b x + c \,\!</math>的最小值决定。如果最小值是负数，则双曲线的轴是水平的。如果是正数，则双曲线的轴是竖直的。如果<math>a<0\,\!</math>，则方程<math> y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c} </math>的图像要么是一个椭圆，要么什么也没有。如果对应的抛物线<math> y_p = a x^2 + b x + c \,\!</math>的最大值是正数，则它的平方根描述了一个椭圆。如果是负数，则描述了一个[[空集]]。

== 二元二次函数 ==
二元二次函数是以下形式的二次多项式：<math display="block"> f(x,y) = A x^2 + B y^2 + C x + D y + E x y + F \,\!</math>这个函数描述了一个[[二次曲面]]。把<math>f(x,y)\,\!</math>设为零，则描述了曲面与平面<math>z=0\,\!</math>的交线，它是一条[[圆锥曲线]]。
=== 最小值/最大值 ===

如果<math> 4AB-E^2 <0 \,</math>，则函数没有最大值或最小值，其图像是双曲[[抛物面]]。

如果 <math> 4AB-E^2 >0 \,</math>，则当<math> A>0</math>时函数具有最小值，当<math> A<0</math>具有最大值。其图像是椭圆抛物面。

二元二次函数的最大值或最小值在点 <math>(x_m, y_m) \,</math> 取得，其中：<math display="block">x_m = -\frac{2BC-DE}{4AB-E^2}</math><math display="block">y_m = -\frac{2AD-CE}{4AB-E^2}</math>如果<math> 4AB- E^2 =0 \,</math>且<math> DE-2CB=2AD-CE \ne 0 \,</math>，则函数没有最大值或最小值，其图像是抛物柱面。

如果<math> 4AB- E^2 =0 \,</math>且<math> DE-2CB=2AD-CE =0 \,</math>，则函数在一条直线上取得最大值/最小值。当<math> A>0</math>时取得最大值，<math> A<0</math>时取得最小值。其图像也是抛物柱面。

== 註釋 ==
{{notelist|iger=}}
== 参考资料 ==
{{reflist}}
=== 参考书目 ===
*《代数1》， Glencoe, ISBN 0-07-825083-8
*《代数2》，Saxon, ISBN 0-939798-62-X
==參見==
*[[抛物线]]

==外部連結==
* {{MathWorld|title=Quadratic|urlname=Quadratic}}

{{多項式}}
[[Category:多项式|E]]
[[Category:函数|E]]
[[Category:数学术语|E]]
[[分类:数学概念]]