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{{Refimprove|time=2022-07-22T06:05:02+00:00}}
'''二年級之夢'''(sophomore's dream)是[[約翰·白努利]]於1697年發現的兩條有趣的數學[[恆等式]]。


: <math display="block" style="auto;">\begin{align}
\int_0^1 \frac{1}{x^x} \,\mathrm{d}x
&= \quad \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^n}
&&  \scriptstyle{(= 1.29128599706266354040728259059560054149861936827\dots} ) \\
\int_0^1 x^x \,\mathrm{d}x
&= - \sum_{n=1}^\infty (-n)^{-n}
&&  \scriptstyle{(= 0.78343051071213440705926438652697546940768199014\dots} )
\end{align}</math>


名稱來自於與之相對的[[中一新生之夢|一年級之夢]]，也就是「 {{nowrap|1=(''x''&nbsp;+&nbsp;''y'')<sup>''n''</sup>&nbsp;=&nbsp;''x''<sup>''n''</sup>&nbsp;+&nbsp;''y''<sup>''n''</sup>}} 」。兩個'''夢'''都帶有數學嚇人的簡單表達方式，然而一年級之夢為錯誤的方程式，因為只要將 <math>n=2</math> 帶入就會發現無法形成等式；但是二年級之夢卻是正確的式子。

== 證明 ==

[[Image:Sophdream.png|thumb|right|200px|在座標上，兩公式的關係。]]

第一條公式，首先利用對數轉換和積分與級數順序變化<ref>{{cite web |author1=BriTheMathGuy |title=The Integral of your Dreams (or Nightmares) |url=https://www.youtube.com/watch?v=lHi53QereHA |website=YouTube |accessdate=2022-07-21 |archive-date=2022-07-22 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220722035550/https://www.youtube.com/watch?v=lHi53QereHA |dead-url=no }} {{Wayback|url=https://www.youtube.com/watch?v=lHi53QereHA |date=20220722035550 }}</ref>：
* 對數轉換 <math>x^{-x} = e^{-x (\ln x)}</math>
* [[指數函數]]的[[泰勒展開式]] <math>e^x =\sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!}</math>


得到 <math>\int_0^1 x^{-x}\,dx =  \int_0^1 \sum_{n=0}^\infty \frac{(-x\ln  x)^n}{n!} \,dx = \sum_{n=0}^\infty \int_0^1 \frac{(-\ln  x)^n * x^n}{n!} \,dx. </math>

在上式中我們利用了[[幂級數]]的[[均勻收斂|均勻收斂性]]，以交換求和運算及積分運算

設 <math>u = -(n+1)\ln x </math>

則 <math> \sum_{n=0}^\infty \int_0^1 \frac{(-\ln x)^n x^n}{n!} \,dx = \sum_{n=0}^\infty \int_\infty^0 \frac{u^n e^{-nu}}{n!} (-e^{-u}) \,du  = \sum_{n=0}^\infty \int_0^\infty \frac{u^n e^{-nu}}{n!} (e^{-u}) \,du </math>


再設 <math>v = (n+1)u </math>

<math>\sum_{n=0}^\infty \int_0^\infty \frac{u^n e^{-nu}}{n!} (e^{-u}) \,du = \sum_{n=0}^\infty  \frac{1}{n! (n+1)^{n+1}} \int_0^\infty v^{n} e^{-v} \,dv </math>


根據[[Γ函數]]， <math>\int_0^\infty v^{n} e^{-v} \,dv = \Gamma(n+1) = n!</math> 


最終推得 <math> \sum_{n=0}^\infty  \frac{1}{n! (n+1)^{n+1}} \int_0^\infty v^{n} e^{-v} \,dv = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)^{n+1}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^n}</math>
若則積函數為<math>x^x</math>，則可用同法推得<math>\int_0^1 x^x\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(n+1)^{n+1}}=-\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^n}</math>

== 關聯條目 ==

*[[菲涅耳積分]]

== 參考 ==
{{reflist}}

{{Algebra-stub}}

[[Category:積分]]
[[Category:数学恒等式]]