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[[File:Triangle.NinePointCircle.svg|200px|thumb|九點圓]]
'''九点圆定理'''指出：在平面中，對所有[[三角形]]，其三邊的[[中點]]、三高的垂足、[[頂點 (幾何)|頂點]]到[[垂心]]的三條[[線段]]的中點，必然[[共圆]]，这个圆被称为'''九點圓'''，又称'''歐拉圓'''、'''費爾巴哈圓'''。

九點圓具有以下性質：
*九點圓的[[半徑]]是[[外接圓]]的一半。
*[[圓心]]在[[歐拉線]]上，且在[[垂心]]到[[外心]]的線段的中點。
*九點圓和三角形的[[內切圓]]和[[旁切圓]]相切（費爾巴哈定理）。
*{{Citation needed|圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓（柯立芝-大上定理）}}。

== 歷史 ==
1765年，[[萊昂哈德·歐拉]]證明：「垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圓（六點圓）。」許多人誤以為九點圓是由歐拉發現所以又稱乎此圓為'''歐拉圓'''。而第一個證明九點圓的人是[[彭賽列]]（1821年）。1822年，[[卡尔·威廉·費爾巴哈]]也發現了九點圓，並得出「九點圓和三角形的[[內切圓]]和[[旁切圓]]相切」，因此[[德國]]人稱此圓為'''費爾巴哈圓'''，並稱這四個[[切點]]為[[費爾巴哈點]]。[[朱利安·柯立芝|柯立芝]]與大上茂喬（Shigetaka Ooue）<ref>{{cite journal|journal = Tohoku Mathematical Journal, First Series|last = Ôue|first = Shigetaka|title = A geometrical use of complex numbers|volume = 10|year = 1916|pages = 225–228|url = https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/10/0/10_0_225/_article/-char/ja/|access-date = 2024-03-27|archive-date = 2024-03-27|archive-url = https://web.archive.org/web/20240327012813/https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/10/0/10_0_225/_article/-char/ja/|dead-url = no}}</ref>分別於1910年與1916年發表「圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓。」這個圓還被稱為四邊形的九點圓，此結果還可推廣到n邊形。

== 九點圓证明 ==
[[File:Nine-point circle.svg|right]]

如圖：<math>D</math>、<math>E</math>、<math>F</math>為三邊的中點，<math>G</math>、<math>H</math>、<math>I</math>為垂足，<math>J</math>、<math>K</math>、<math>L</math>為和[[頂點 (幾何)|頂點]]到垂心的三條線段的中點。

*容易得出<math> \triangle ABS \sim \triangle AFJ </math>、<math> \triangle CBS \sim \triangle CDL </math>（<math>SAS</math>相似）

*因此<math>\overline{FJ} // \overline{BH} // \overline{DL}</math>

*同樣可得出<math> \triangle ABC \sim \triangle FBD </math>、<math> \triangle ASC \sim \triangle JSL </math>（<math>SAS</math>相似）

*因此<math>\overline{FD} // \overline{AC} // \overline{JL}</math>

*又<math>\overline{BH} \perp \overline{AC}</math>，可得出四邊形<math>DFJL</math>是[[矩形]]（四點共圓）

*同理可證<math>FKLE</math>也是矩形（<math>DKFJEL</math>共圓）

*<math>\angle JLD = \angle JGD = 90^\circ</math>，因此可知<math>G</math>也在圓上（[[圓周角]]相等）

*同理可證<math>H</math>、<math>I</math>兩點也在圓上（九點共圓）
{{clear}}

== 性質證明 ==
[[File:9pcircle 04.png|right]]
九點圓的半徑是[[外接圓]]的一半，且九點圓平分垂心與外接圓上的任一點的連線。

*在[[直角坐标系|直角坐標系]]中，已知[[圓]]的方程為<math>(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2</math>，其中<math>r</math>為圓的半徑，<math>(x_0,y_0)</math>為圓的圓心坐標。若做圓上三點與點<math>(x_S,y_S)</math>的中點的[[軌跡]]，則此軌跡的方程式為：
::<math>\left(x-\frac{x_0+x_S}{2}\right)^2 + \left(y-\frac{y_0+y_S}{2}\right)^2 = \left(\frac{r}{2}\right)^2</math>
*設<math>r</math>為外接圓的半徑、<math>(x_0,y_0)</math>為外接圓的圓心坐標、點<math>(x_S,y_S)</math>為垂心坐標。
*已知九點圓通過[[頂點 (幾何)|頂點]]到垂心的三條線段的中點，故此軌跡圓就是九點圓，半徑是外接圓的一半，且平分垂心與外接圓上的任一點的連線。
*同時還可以得出下面的性質：

*圓心在[[歐拉線]]上，且在垂心到外心的線段的中點。由此可知，給定三角形頂點座標，九點圓圓心為
<math>\left (\frac{\begin{vmatrix}x_1^2+y_1^2-2\left ( x_2x_3 + y_2y_3 \right ) & y_1 & 1\\ x_2^2+y_2^2-2\left ( x_3x_1 + y_3y_1 \right ) & y_2 & 1\\ x_3^2+y_3^2-2\left ( x_1x_2 + y_1y_2 \right ) & y_3 & 1\\ \end{vmatrix}}{4\begin{vmatrix}x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}},\frac{\begin{vmatrix}x_1 & x_1^2+y_1^2-2\left ( x_2x_3 + y_2y_3 \right ) & 1\\ x_2 & x_2^2+y_2^2-2\left ( x_3x_1 + y_3y_1 \right ) & 1\\ x_3 & x_3^2+y_3^2-2\left ( x_1x_2 + y_1y_2 \right ) & 1\\ \end{vmatrix}}{4\begin{vmatrix}x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}}
  \right )
</math>
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[[File:Circ9pnt3.svg|right|300px]]

*九點圓和三角形的[[內切圓]]和[[旁切圓]]相切（費爾巴哈定理）。
''{{main|費爾巴哈定理}}''
{{clear}}

*圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓。

== 其他 ==
*[[垂心四面体的12点共球]]九点圆是垂心四面体各棱的中点和垂足（相对于对棱）共球的特例，两者是同构的
*[[主旁心三角形]]的九點圓是三角形的外接圓
*[[中點三角形]]的外接圓是三角形的九點圓
*[[三线坐标|三線坐標]]中，九點圓的座標為<math>\cos(B-C)\,:\,\cos(C-A)\,:\,\cos(A-B)</math>
*[[三线坐标|三線坐標]]中，費爾巴哈點的座標為<math>1-\cos(B-C)\,:\,1-\cos(C-A)\,:\,1-\cos(A-B)</math>

==參見條目==
*[[萊昂哈德·歐拉]]
*[[卡尔·威廉·費爾巴哈]]

== 參考資料 ==
{{reflist}}
*幾何明珠 ISBN 957-603-197-4
*[https://web.archive.org/web/20040427081526/http://hk.geocities.com/mathsworld2001/jsp/9ptcircle.htm]
*[http://ej0cl6.pixnet.net/blog/post/25644516 幾何寶庫]{{Wayback|url=http://ej0cl6.pixnet.net/blog/post/25644516 |date=20100831013753 }}
*[http://www.mikekong.net/Maths/Sketches/9pt-circle.html]{{Wayback|url=http://www.mikekong.net/Maths/Sketches/9pt-circle.html |date=20080703201635 }}
*[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/FeuerbachProof.shtml Feuerbach's Theorem: a Proof]{{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/FeuerbachProof.shtml |date=20100107110959 }}

[[Category:圆]]
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