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[[群論]]中，'''乒乓引理'''（ping-pong lemma）給出了一個[[充分條件]]，保證一個[[群]]中數個[[子群]]所[[群的生成集合|生成]]的群是這些子群的[[自由積]]。

==歷史==
使用乒乓引理的論證法可以追溯至19世紀後期，通常認為是[[菲利克斯·克萊因]]最先使用<ref name="DH1">{{cite book |author=La Harpe, Pierre de |title= Topics in Geometric Group Theory |origdate= |year=2000 |publisher=The University of Chicago Press |location=Chicago |language= |isbn= 0-226-31721-8 |oclc= |doi= |id= |pages= |chapter= |chapterurl= |unified= |quote= }}</ref>，他研究[[克萊因群]]的子群常常用到。[[雅克·蒂茨]]在他一篇1972年的文章中<ref name="T">J. Tits. [http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6WH2-4D7K6RV-19X&_user=10&_coverDate=02%2F29%2F1972&_rdoc=3&_fmt=high&_orig=browse&_srch=doc-info(%23toc%236838%231972%23999799997%23518342%23FLP%23display%23Volume)&_cdi=6838&_sort=d&_docanchor=&_ct=12&_acct=C000050221&_version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=bb8d98f320404accc3525ca235cf821e ''Free subgroups in linear groups.'']{{Dead link|date=2019年10月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} [[Journal of Algebra]], vol. 20 (1972), pp. 250–270</ref>，證明著名的[[蒂茨兩擇性]]（Tits alternative）結果，一個主要工具就是乒乓引理。這結果指出任何[[有限生成群|有限生成]]的[[線性群]]，或是一個[[逼肖性|逼肖]][[可解群]]（virtually solvable group），或是包含一個秩2的[[自由群|自由]]子群。乒乓引理及其引申結果廣泛應用於[[幾何拓撲學]]及[[幾何群論]]。

==定理敍述==
設''G''為[[群]]，[[群作用|作用]]在[[集合 (数学)|集合]]''X''上，''H''<sub>1</sub>和''H''<sub>2</sub>是''G''的非平凡子群，''H''是''H''<sub>1</sub>和''H''<sub>2</sub>生成的群。若''X''有兩個[[不交集|不交]]非空[[子集]]''X''<sub>1</sub>和''X''<sub>2</sub>，使得
*對所有<math>1\ne a\in H_1</math>，都有<math>a(X_2) \subset X_1</math>
*對所有<math>1\ne b\in H_2</math>，都有<math>b(X_1) \subset X_2</math>
則''H''是''H''<sub>1</sub>和''H''<sub>2</sub>的[[自由積]]，即<math>H=H_1 * H_2</math>，或者<math>\left|H_1\right| = \left|H_2\right| = 2</math>，而''H''是[[二面體群]]。
===證明===
設''w''是用''H''<sub>1</sub>和''H''<sub>2</sub>的元素寫出的非空簡約[[字 (群論)|字]]。若<math>w=a_1b_1a_2b_2\cdots a_k</math>，其中<math>a_i\in H_1\setminus \{1\}</math>，<math>b_i\in H_2\setminus \{1\}</math>，則
:<math>\begin{align}w(X_2) &= a_1b_1\cdots a_{k-1}b_{k-1}a_k(X_2) \\
&\subset a_1b_1\cdots a_{k-1}b_{k-1}(X_1)\\
&\subset a_1b_1\cdots a_{k-1}(X_2)\\
&\subset \cdots \subset X_1\end{align}</math>
故<math>w\ne 1</math>。同上得<math>w=b_1a_2b_2a_3\cdots b_k\ne 1</math>。

若''H''<sub>1</sub>和''H''<sub>2</sub>的[[階 (群論)|階]]不都等於2，[[不失一般性]]，假設<math>\left|H_1\right|>2</math>。若<math>w=a_1b_1a_2b_2\cdots b_k</math>，取<math>a\in H_1\setminus\{1,a_1^{-1}\}</math>，則<math>1 \ne aa_1 \in H_1</math>，故由上可知
:<math>awa^{-1}=aa_1b_1a_2b_2\cdots b_k a^{-1}\ne 1</math>，
得<math>w\ne 1</math>。若<math>w=b_1a_2b_2\cdots a_k</math>，取<math>a\in H_1\setminus\{1,a_k\}</math>，則<math>1 \ne a_ka^{-1} \in H_1</math>，同上可得<math>awa^{-1}\ne 1</math>，故<math>w\ne 1</math>。因此得出<math>H=H_1 * H_2</math>。

若<math>\left|H_1\right| = \left|H_2\right| = 2</math>，令<math>H_1=\{1,a\}</math>，<math>H_2=\{1,b\}</math>。從上可知若有以''a'', ''b''寫出的非空簡約字''w''等於1，則''w''只可能是<math>ab\cdots ab</math>或<math>ba\cdots ba</math>，故對某些數''n'' > 0有<math>(ab)^n=1</math>。取其最小者的值為''n''，則''H''為[[二面體群]]<math>D_{2n}</math>。若無如此簡約字''w''，則<math>H=H_1 * H_2</math>。

===推廣===
乒乓引理可以推廣至數個子群的情形：

設''G''為[[群]]，[[群作用|作用]]在[[集合 (数学)|集合]]''X''上。又設''H''<sub>1</sub>, ''H''<sub>2</sub>, ... , ''H''<sub>''k''</sub>是''G''的非平凡子群，且當中至少一個的[[階 (群論)|階]]不小於3。若''X''有[[兩兩不交]]的非空子集''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ... , ''X''<sub>''k''</sub>，使得當<math>i\ne j</math>時，對所有<math>1\ne a\in H_i</math>，都有<math>a(X_j) \subset X_i</math>。則''H''<sub>1</sub>, ''H''<sub>2</sub>, ... , ''H''<sub>k</sub>所生成的群是其[[自由積]]，即
:<math>\langle H_1,\cdots, H_k\rangle=H_1 * H_2 * \cdots * H_k</math>。

這條定理的證明與兩個子群時的證明類似。

==應用例子==
===[[特殊線性群]]===
[[矩陣]]<math>\begin{pmatrix} 1 & 2\\0 & 1\end{pmatrix}</math>和<math>\begin{pmatrix} 1 & 0\\2 & 1\end{pmatrix}</math>在特殊線性群<math>SL(2,\mathbb Z)</math>中生成的子群是秩2的[[自由群]]。

===證明===
群<math>SL(2,\mathbb Z)</math>以[[線性變換]]作用在平面<math>\mathbb R^2</math>上。
設這兩個矩陣各自生成[[子群]]
:<math>H_1=\left\langle\begin{pmatrix} 1 & 2\\0 & 1\end{pmatrix}\right\rangle
=\left\{\left.\begin{pmatrix} 1 & 2n\\0 & 1\end{pmatrix}\right\vert n\in\mathbb Z\right\}</math>
:<math>H_2=\left\langle\begin{pmatrix} 1 & 0\\2 & 1\end{pmatrix}\right\rangle
=\left\{\left.\begin{pmatrix} 1 & 0\\2n & 1\end{pmatrix}\right\vert n\in\mathbb Z\right\}</math>
又設平面的兩個不交子集為
:<math>X_1=\left\{\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}\in \mathbb R^2 : |x|>|y|\right\}</math>
:<math>X_2=\left\{\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}\in \mathbb R^2 : |x|<|y|\right\}</math>
''H''<sub>1</sub>, ''H''<sub>2</sub>都[[群同構|同構]]於無限[[循環群]]。因為''H''<sub>1</sub>, ''H''<sub>2</sub>, ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>適合乒乓引理的條件，由乒乓引理得出''H''<sub>1</sub>, ''H''<sub>2</sub>生成的群為其[[自由積]]，而兩個無限循環群的自由積為秩2的[[自由群]]。

==參考==
*{{cite book |author=Lyndon, Roger |coauthors=Schupp, Paul |title=Combinatorial Group Theory  |origyear=1977|year=2001 |publisher=Springer-Verlag |location=Germany |series= Classics in Mathematics|pages=167 |isbn= 3-540-41158-5}}
{{reflist}}

[[Category:离散群]]
[[Category:李群]]
[[Category:词语组合]]