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{{Unreferenced|time=2022-05-10T07:14:09+00:00}}
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'''中線定理'''，又稱'''阿波羅尼奧斯定理'''，是[[歐氏幾何]]的定理，表述[[三角形]]兩邊和[[中線]]長度關係。它[[逻辑等价|等價]]於[[平行四邊形恆等式]]。

== 中線定理 ==
對[[任意三角形]]<math>\triangle ABC</math>，設<math>I</math>是線段<math>\overline{BC}</math>的中點，<math>\overline{AI}</math>為中線，則有如下關係：

<math>\overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 = 2\overline{BI}^2 + 2\overline{AI}^2\,</math>

=== 證明 ===
用[[萊布尼茨函數|萊布尼茨標量函數]]約簡，可以容易導出這性質：只需要在兩個平方中引入<math>I</math>：
: <math>|\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 =\left |\vec{AI} + \vec{IB}\right |^2 + \left |\vec{AI} +\vec{IC}\right |^2</math>
得出
: <math>|\vec{AB}|^2+ |\vec{AC}|^2 = |\vec{AI}|^2 + |\vec{IB}|^2 + 2\vec{AI}\cdot\vec{IB} + |\vec{AI}|^2 + |\vec{IC}|^2 + 2\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{IC}</math>
<math>I</math>是<math>BC</math>的中點，因此<math>\overrightarrow{IB}</math>和<math>\overrightarrow{IC}</math>相反，可知式中兩個標積抵消。又因<math>\overline{IC} = \overline{IB}</math>，得出
: <math>\overline{AB}^2+ \overline{AC}^2 = 2\overline{AI}^2 + 2\overline{IB}^2 \,</math>

=== 另一個證法 ===
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這可能是[[阿波罗尼奥斯]]的證明方法，因為他不知道萊布尼茨函數。證明如下：
設<math>H</math>是從<math>A</math>到<math>BC</math>的垂足，則<math>\triangle BHA</math>和<math>\triangle AHC</math>是直角三角形。用[[勾股定理]]可得
: <math>\overline{AB}^2 = \overline{BH}^2 + \overline{AH}^2\,</math>
: <math>\overline{AC}^2 = \overline{AH}^2 + \overline{HC}^2 \,</math>
: <math>\overline{AI}^2 = \overline{IH}^2 + \overline{AH}^2\,</math>
所以
: <math>\overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 = \overline{BH}^2 + 2\overline{AH}^2 + \overline{HC}^2\, </math>
把<math>BH</math>和<math>HC</math>用<math>BI</math>和<math>IH</math>表達出來（記得<math>I</math>是<math>BC</math>的中點，因此<math>BI=IC</math>）。注意到雖然現在的情形假設<math>H</math>在線段<math>BI</math>上，但其
他情形也可以用這個方法。
: <math>\overline{BH} = \overline{BI} - \overline{IH} \,</math>
: <math>\overline{HC} = \overline{IC} + \overline{IH} = \overline{BI} + \overline{IH}\,</math>
代入前式：
: <math>\overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 = (\overline{BI}-\overline{IH})^2 + 2\overline{AH}^2 + (\overline{BI}+\overline{IH})^2 \, </math>
: <math>\overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 = \overline{BI}^2 - 2\overline{BI}\cdot \overline{IH}+ \overline{IH}^2 + 2\overline{AH}^2 + \overline{BI}^2 + 2\overline{BI}\cdot \overline{IH} + \overline{IH}^2\, </math>
: <math>\overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 = 2\overline{BI}^2 + 2\overline{IH}^2 + 2\overline{AH}^2 = 2\overline{BI}^2 + 2(\overline{IH}^2 + \overline{AH}^2) \,</math>
<math>\triangle IHA </math>是直角三角形(H為<math>\triangle ABC </math>於<math>\overline{BC} </math>之垂足)
，因此
: <math>\overline{IH}^2 + \overline{AH}^2 = \overline{AI}^2\,</math>
代入前式得出
: <math>\overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 = 2\overline{BI}^2 + 2\overline{AI}^2\,</math>

== 中線的向量表達式 ==
設<math>I</math>是線段<math>BC</math>的中點，則有<math>\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AI}</math>

== 中線的另一條定理 ==
用標積表示<math>AB^2 - AC^2 = 2\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{IH}</math>，其中<math>H</math>是<math>A</math>到線<math>BC</math>的垂足。

從上得到中線的另一條定理<math> \left| AB^2 - AC^2 \right| = 2 BC \times IH </math>。

實際上
:<math>AB^2 - AC^2 = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\cdot(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = 2\overrightarrow{AI}\cdot(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}) = 2\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{CB}</math>

<math>\overrightarrow{AI}</math>投影在<math>\overrightarrow{BC}</math> 上是<math>\overrightarrow{HI}</math>，因而有<math>\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{HI}\cdot\overrightarrow{CB}  = \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{IH}</math>.

這兩個共線向量的標積可等於<math>BC \times IH \,</math>或其負數，因此取絕對值。

== 參見 ==
* [[閉凸集投影定理]]，中線定理是這定理的證明關鍵。
* [[平行四邊形恆等式]]

[[Category:幾何定理]]
[[Category:初等几何]]
[[Category:三角形几何]]