查看“︁中心矩”︁的源代码

{{multiple issues|
{{unreferenced|time=2014-04-20T15:33:25+00:00}}
{{expert|概率论|time=2014-04-21T14:23:17+00:00}}
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{{NoteTA
|G1 = Math
|T= zh-cn:中心矩; zh-tw:主動差
|1= zh-cn:矩; zh-tw: 動差;zh-hant:矩
|2= zh-cn:原点矩; zh-tw:原動差
|3= zh-cn:中心矩; zh-tw:主動差
|4=zh-hant:參數;zh-cn:参数;zh-tw:母數
}}

在[[概率论]]或者[[统计学]]中，'''主動差'''（Central Moment，或稱'''中央動差'''，其中-{zh-hans:[[矩]];zh-tw:[[動差]]}-亦被稱作-{zh-tw:[[矩]];zh-hans:[[动差]]}-）是关于某一个[[随机变量]][[平均值]]构成随机变量的[[概率分布]]的[[矩 (数学)|動差]]。中心矩可以反应概率分布的特征，由于高阶中心矩仅与分布的分布和形状有关，而不与分布的位置有关，所以相比原点矩使用更广泛。

== 定義 ==
对于一维[[随机变量]]<math>X</math>，其<math>k</math>阶'''中心矩'''<math>\mu_k</math>为相對於<math>X</math>之[[期望值]]的<math>k</math>阶矩：
:<math>\mu_k = \mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X])^k]=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu)^k f(x) dx</math>

前幾階中心矩具有較直觀的意義。
* 第0階中心矩<math>\mu_0</math>恆為1。
* 第1階中心矩<math>\mu_1</math>恆為0。
* 第2階中心矩<math>\mu_2</math>為<math>X</math>的[[方差]]<math>\operatorname{Var}(X)</math>。
* 第3階中心矩<math>\mu_3</math>用於定義<math>X</math>的[[偏度]]。
* 第4階中心矩<math>\mu_4</math>用於定義<math>X</math>的[[峰度]]。

== 性質 ==
* 中心矩具有平移不變性。對於任意的隨機變量<math>X</math>和任意常數<math>c</math>，恆有：
:<math>\mu_n(X+c)=\mu_n(X)</math>
* ''n''階中心矩是''n''次[[齊次函數]]。
:<math>\mu_n(cX)=c^n\mu_n(X)</math>
* 只有當<math>n\in\{1,2,3\}</math>，且<math>X</math>和<math>Y</math>為兩個互相[[獨立 (機率論)#獨立隨機變數|獨立]]的隨機變量時，中心矩才具有加法性。
:<math>\mu_n(X+Y)=\mu_n(X)+\mu_n(Y)</math>
另一個與中心矩類似，但在<math>n\geq 4</math>時仍保有加法性的統計量為''n''階[[累積量]]<math>\kappa_n</math>。

{{概率分布理论}}
[[Category:概率论]]