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[[File:Bouncing_ball_strobe_edit.jpg|thumb|250px|彈跳的球，若不考慮球在反彈時的形變，其運動可以以牛頓運動定律來描述]]
'''中心流形'''（center manifold）是[[動力系統]]數學理論的一部份，最早是用此概念來判斷退化[[平衡點]]的穩定性。之後這個概念成為[[数学模型]]的建構基礎。

若將球往上拋。可根據[[牛顿运动定律]]預測球的運動，方式是求解有其位置以及速度的[[微分方程]]，但在{{le|球反彈|Bouncing ball}}時的行為就無法用牛顿运动定律來描述。在球反彈時，球會有形變，就無法用剛體的牛顿运动定律來預測系統的演進，需要用[[连续介质力学]]來描述組成球的所有粒子在形變前後的行為。
在反彈後，球的形變會快速消失，球繼續依循牛顿运动定律。
若將球視為是由許多互相影響的成份所組成的系統，牛頓運動定律對球的描述，只以位置、速度及旋轉方式呈現，即為變形球的中心流形
<ref name="Muncaster83">{{Cite journal | last1=Muncaster | first1=R.G. | title=Invariant Manifolds In Mechanics II: Zero-dimensional Elastic Bodies With Directors | journal=Arch. Rat. Mech. Anal. | volume=84 | issue=4 | pages=375–392 | year=1983  | doi=10.1007/BF00250588 | bibcode=1983ArRMA..84..375M }}</ref>。若有一系統是由許多互相影響成份所組成，而其影響效應會快速衰減，可以用中心流形，以較簡單的方式來描述系統。

中心流形在[[分岔理論]]中有重要的地位，因為系統在中心流形的位置會出現特殊的行為，在{{le|多尺度物理學|multiscale mathematics}}中也很重要，微尺度的長時間動態常常會受到相對簡單、變數尺度較大的中心流形吸引。

== 定義 ==
[[Image:Saddle-node phase portrait with central manifold.svg|thumb|300px|right|系統<math> \dot x=x^2,</math> <math>\dot y=y</math>，[[鞍點]]平衡點的中心流形（紅色）及不穩定中心流形（綠色）]]

[[File:CentreMfld.gif|thumb|300px|right|在2D相圖上亂數選擇的點，這些點的動態會指數收斂為較慢（非指數）的動態。中心流形動態的研究可以判斷在原點的非雙曲性不動點的穩定性]]

[[动力系统]]的中心流形是以系統的平衡點為基礎，以球為例，就是球靜止，沒有變形的狀態。
平衡點的中心流形包括了鄰近的{{le|軌跡 (系統動力學)|Orbit (dynamics)|軌跡}}中，沒有快速[[指数衰减]]，也沒有快速[[指數增長]]的的軌跡。若以球來說，中心流形中包括了球的移動及自旋運動，但不包括球的形變（因為形變會由於阻尼力而快速衰減）。

在數學上，研究动力系统平衡點的第一步是[[線性化]]，之後計算其[[特征值和特征向量]]。
其對應特徵值有負實數的特徵向量（若有{{le|廣義特徵向量|generalized eigenvectors}}的話，也包括在內）可以組成[[基 (線性代數)|基]]的特徵空間。
對應特徵值有正實數的（廣義）特徵向量可以組成不穩定的特徵空間。
若平衡點為{{le|雙曲平衡點|hyperbolic equilibrium point}}（所有線性化後的特徵值，實部都不為0）。{{le|Hartman-Grobman定理|Hartman-Grobman theorem}}可以保證在平衡點附近的動態可以完全用特徵值及特徵向量來描述。

若平衡點的特徵值中，有特徵值的實部是零，則是對應的（廣義）特徵向量會組成「中心特徵空間」，以球為例，就是球在不受力下[[刚体动力学]]的整個集合<ref name=Roberts93>{{cite journal| last=Roberts| first=A.J.| year=1993| title=The invariant manifold of beam deformations. Part 1: the simple circular rod| url=https://archive.org/details/sim_journal-of-elasticity_1993-01_30_1/page/n8| journal=J. Elas.| volume=30| pages=1–54| doi=10.1007/BF00041769 }}</ref>。
若不只考慮線性化後的系統，將動力系統加上非線性或是外力的微擾，中心特徵空間會變形到鄰近的中心流形
<ref name="Carr81">{{Cite book | last1=Carr | first1=Jack | title=Applications of centre manifold theory | volume=35 | publisher=[[施普林格科学+商业媒体|Springer-Verlag]] | year=1981 |doi=10.1007/978-1-4612-5929-9 | series=Applied Mathematical Sciences | isbn=978-0-387-90577-8 }}</ref>。
若特徵值不只是實部為零，而是特徵值的複數值為零（如球的例子），對應的特徵空間可以更準確的對應{{le|慢流形|slow manifold}}。
中心（慢）流形的行為無法由線性化來判定，因此不容易建構。

類似的道理，在穩定特徵空間或不穩定特徵空間加上非線性或是外力的微擾，會讓系統變形到鄰近的[[穩定流形]]或[[穩定流形|不穩定流形]]
<ref name="Kelley67b">{{Cite journal |last=Kelley |first=A. |year=1967 |title=The stable, center-stable, center, center-unstable and unstable manifolds | journal=J. Differential Equations| volume=3|issue=4 | pages=546–570| doi=10.1016/0022-0396(67)90016-2 |bibcode=1967JDE.....3..546K |doi-access=free }}</ref>。
這三種流形是[[不變流形]]中的三類例子。

令<math>\frac{d\textbf{x}}{dt} = \textbf{f}(\textbf{x})</math>是[[动力系统]]，其[[平衡点]]為<math>\textbf{x}^*</math>，則系統在平衡點附近的線性化為

:<math>\frac{d\textbf{x}}{dt} = A\textbf{x}, \quad \text{where } A = \frac{d\textbf{f}}{d\textbf{x}}(\textbf{x}^*). </math>

[[雅可比矩阵]] <math>A</math>可以定義以下的三種子空間：
* 穩定子空間，是由特徵值實部小於0的{{le|廣義特徵向量|generalized eigenvectors}}所生成。
* 不穩定子空間，是由特徵值實部大於0的廣義特徵向量所生成。
* 中心子空間，是由特徵值實部等於0的廣義特徵向量所生成。
依照應用的不同，也會分類以下的子空間，例如中心穩定、中心不穩定、次中心、或是快速子空間。
這些子空間都是線性化方程的[[不变子空间]]。

對應線性系統，非線性系統會有慢流形，每一種都會包括一種非線性系統的軌跡集合<ref>{{harvtxt|Guckenheimer|Holmes|1997}}, Section 3.2</ref>。
* 和穩定子空間相切，有相同維度的不變流形是[[穩定流形]]. 
* 不穩定流形和不穩定子空間相切，也有相同維度。
* 中心流形和中心子空間相切，有相同維度。若中心子空間的特徵值都為0，此中心流形會稱為慢流形。

==中心流形的相關定理 ==
'''中心流形存在定理'''（center manifold existence theorem）內容是：若函數<math>\textbf{f}(\textbf{x})</math> 是<math>C^r</math>（<math>r</math>次的連續可微），則針對每一個平衡點，都存在一個有限大小的鄰域，使得以下三項敘述，至少會有一項成立<ref>{{harvtxt|Guckenheimer|Holmes|1997}}, Theorem 3.2.1</ref>：
* 唯一的<math>C^r</math>穩定流形
* 唯一的<math>C^r</math>不穩定流形
* （可能不唯一的）<math>C^{r-1}</math>中心流形

像非線性的座標轉換為{{le|正則型式 (分叉理論)|normal form (bifurcation theory)|正則型式}}就可以清楚的分出這三種流形<ref>{{Cite book | last1=Murdock | first1=James | title=Normal forms and unfoldings for local dynamical systems | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2003 }}</ref>。有網頁服務可以針對有限維的系統進行必要的電腦計算<ref>{{Cite web |url=http://www.maths.adelaide.edu.au/anthony.roberts/sdenf.php |title=存档副本 |accessdate=2020-04-20 |archive-date=2013-11-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20131109164316/http://www.maths.adelaide.edu.au/anthony.roberts/sdenf.php |dead-url=no }}</ref>。

若在那些沒有不穩定流形的例子中，中心流形一般會和建模有關。
'''中心流形出現定理'''提到可以選擇鄰域，使系統的所有解維持在會以指數收斂到中心流形上某個解<math>\textbf{y}(t)</math>的範圍內。
也就是說
<math>\textbf{x}(t)=\textbf{y}(t)+\mathcal{O}(e^{-\beta' t}) \quad\text{as } 
    t\to\infty\,,</math>
會以某速率值<math>\beta'</math>進行
<ref>{{cite book|author1=Iooss, G.  |author2=Adelmeyer, M.|title = Topics in Bifurcation Theory|pages=7|year = 1992}}</ref>。
此定理也確保針對多許多的初始條件，整個系統的解會快速指數收斂到比較低維度的中心流形上。

第三個定理是'''近似定理'''，若針對某不變流形（例如<math>\textbf{x}=\textbf{X}(\textbf{s})</math>），有近似表示式滿足系統的微分方程，當<math>\textbf{s}\to\textbf{0}</math>時，其residuals為<math>\mathcal{O}(|\textbf{s}|^p)</math>，則不變流形可以用<math>\textbf{x}=\textbf{X}(\textbf{s})</math>來近似，其誤差也是同一量級的，例如是<math>\mathcal{O}(|\textbf{s}|^p)</math>。

===另一種反向分析===
上述的理論都是針對特定問題，想找到不變流形的性質。特別是建構一個流形來近似系統的不變流形。
另一種方式是針對給定系統，找到一個近似的系統，建構此系統的不變流形，這稱為反向分析。
目的是將理論應用到範圍更廣的系統中，並估計誤差以及有效域的大小
<ref name=Roberts2018a>{{cite arxiv |last=Roberts |first=A.J. |year=2019 |title=Backwards theory supports modelling via invariant manifolds for non-autonomous dynamical systems |eprint=1804.06998 |class=math.DS }}</ref> 
<ref>{{cite journal |last=Hochs |first=Peter |last2=Roberts |first2=A.J. |year=2019 |title=Normal forms and invariant manifolds for nonlinear, non-autonomous PDEs, viewed as ODEs in infinite dimensions |journal=J. Differential Equations |volume=267 |issue=12 |pages=7263–7312 |doi=10.1016/j.jde.2019.07.021 |bibcode=2019JDE...267.7263H |arxiv=1906.04420 }}</ref>。

此方法和數值建模中公認的{{le|反向誤差分析|backward error analysis}}完全相同。

==中心流形以及非線性系統的分析==

平衡點的穩定性和其流形的「穩定性」有關，中心流形是否存在的問題也帶來了有關中心流形的系統動力學問題，這可以由中心流形約化（center manifold reduction）來分析，再配合系統參數μ，可以引到[[分岔理論]]的概念。也有些網站可以進行相關計算<ref>{{Cite web |url=http://www.maths.adelaide.edu.au/anthony.roberts/sdesm.php |title=存档副本 |accessdate=2020-04-20 |archive-date=2020-03-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200321150451/http://www.maths.adelaide.edu.au/anthony.roberts/sdesm.php |dead-url=no }}</ref><ref>{{cite journal|author = A.J. Roberts|journal = Physica A|pages = 12–38|title = Normal form transforms separate slow and fast modes in stochastic dynamical systems|volume = 387|issue = 1|year = 2008|doi=10.1016/j.physa.2007.08.023|arxiv = math/0701623 |bibcode = 2008PhyA..387...12R }}</ref><ref>{{Cite web |url=http://www.maths.adelaide.edu.au/anthony.roberts/gencm.php |title=存档副本 |accessdate=2020-04-20 |archive-date=2020-03-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200321150457/http://www.maths.adelaide.edu.au/anthony.roberts/gencm.php |dead-url=no }}</ref><ref>{{cite journal|author = A.J. Roberts|journal = Comput. Phys. Commun. |pages = 215–230|title = Low-dimensional modelling of dynamics via computer algebra|url = https://archive.org/details/sim_computer-physics-communications_1997-03_100_3/page/215|volume = 100|issue = 3 |year = 1997|doi=10.1016/S0010-4655(96)00162-2|bibcode = 1997CoPhC.100..215R |arxiv = chao-dyn/9604012}}</ref>。

== 例子 ==
===簡單的例子===
考慮以下系統
: <math> \dot x=x^2,\quad \dot y=y.</math>
在原點的不穩定流形為y軸，穩定流形為平凡集{(0,&nbsp;0)}。不在穩定流形上的任何軌跡都滿足以下形式的方程式<math>y=Ae^{-1/x}</math>，其中''A''為實數的常。可以推得針對任意的''A''，可以創建中心流形，方式是將<math>y=Ae^{-1/x}</math>，''x''&nbsp;>&nbsp;0的部份，和''x''為非正值的X軸連接。而且，所有的中心流形都有潛在的非唯一性，不過非唯一性只會發生在變數為複數的情形下。

===时滞微分方程===
另一個例子可以用中心流形來為[[霍普夫分岔]]建模，霍普夫分岔是發生在以下的[[时滞微分方程]]
 
:<math>{dx}/{dt}=-ax(t-1)-2x^2-x^3</math>

參數<math>a\approx 4</math>的情形。嚴格來說，因為有时滞，微分方程會變成無限維。
不過可以用以下的方式來近似时滞，讓系統仍為有限維度。

定義<math>u_1(t)=x(t)</math>
以及適當的时滞變數
<math>x(t-1)\approx u_3(t)</math>，利用其中間值
<math>{du_2}/{dt}=2(u_1-u_2)</math>及
<math>{du_3}/{dt}=2(u_2-u_3)</math>.

在接近臨界值的參數<math>a=4+\alpha</math>，[[时滞微分方程]]可以用以下系統來近似
:<math> \frac{d\textbf{u}}{dt} =\left[\begin{array}{ccc} 0&0&-4\\
2&-2&0\\ 0&2&-2 \end{array}\right] \textbf{u} +
\left[\begin{array}{c}-\alpha u_3-2u_1^2-u_1^3\\ 0\\
0\end{array}\right]. </math>
透過網頁服務，可以找到[[相量]]<math>s(t)</math> 
以及其共軛<math>\bar s(t)</math>，中心流形為
:<math> \textbf{u}=\left[\begin{array}{c} e^{i2t}s+e^{-i2t}\bar s\\
 \frac{1-i}2e^{i2t}s +\frac{1+i}2e^{-i2t}\bar s\\
 -\frac{i}2e^{i2t}s +\frac{i}2e^{-i2t}\bar s 
\end{array}\right]
+{O}(\alpha+|s|^2) </math>
中心流形的演進為
:<math>  \frac{ds}{dt}= \left[
\frac{1+2i}{10}\alpha s
-\frac{3+16i}{15}|s|^2s 
\right] +{ O}(\alpha^2+|s|^4)</math>
從此演進可以看出，系統在<math>\alpha>0\ (a>4)</math>時，在原點是線性的不穩定，但三次非線性使其有穩定的[[極限環]]，就像經典[[霍普夫分岔]]的結果一樣。

== 參考資料 ==
{{reflist}}
* {{Citation | last1=Guckenheimer | first1=John | last2=Holmes | first2=Philip | title=Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields | publisher=[[施普林格科学+商业媒体|Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Applied Mathematical Sciences | isbn=978-0-387-90819-9 | id=corrected fifth printing | year=1997 | volume=42}}.

== 外部連結 ==
<!--* {{scholarpedia|title=Center manifold|urlname=center_manifold|curator=Jack Carr}}-->

[[Category:动力系统]]